Exponentialgleichungen lösen Schwer

Question

Aufgabe:

Folgende Gleichung soll gelöst werden.

Könnte man sie auch mit meinem Anstatz

Text erkannt:

\( \begin{array}{c}9^{x^{2}-1}-36 \cdot 3^{x^{2}-3}+3=0 \\ \left(3^{2}\right)^{x^{2}-1}-36 \cdot 3^{x^{2}-1-2}+3=0 \\ \left(3^{x^{2}-1}\right)^{2}-36 \cdot 3^{x^{2}-1} \cdot 3^{-2}+3=0 \\ \left(3^{x^{2}-1}\right)^{2}-36 \cdot 3^{x^{2}-1} \cdot \frac{1}{9}+3=0 \\ \left(3^{x^{2}-1}\right)^{2}-4 \cdot 3^{x^{2}-1}+3=0\end{array} \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{c}9^{x^{2}-1}-36 \cdot 3^{x^{2}-3}+3=0 \\ =9^{x^{2}} \cdot 9^{-1}-36 \cdot\left(3^{x^{2}} \cdot 3^{-3}\right)+30\end{array} \)

lösen?

Answer 1

Mir gefällt dein Ansatz schon recht gut. So gehts dann weiter

(3^(x^2 - 1))^2 - 4·3^(x^2 - 1) + 3 = 0

Subst. z = 3^(x^2 - 1)

z^2 - 4·z + 3 = 0 --> z = 3 ∨ z = 1

3^(x^2 - 1) = 3 --> x = ± √2

3^(x^2 - 1) = 1 --> x = ±1

Comments

Das war 1. nicht die Frage und 2. nicht der Ansatz um den es geht.

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Probieren wir mal das Handgeschriebene

9^(x^2 - 1) - 36·3^(x^2 - 3) + 3 = 0

1/9·9^(x^2) - 36/27·3^(x^2) + 3 = 0

1/9·9^(x^2) - 4/3·3^(x^2) + 3 = 0

9^(x^2) - 12·3^(x^2) + 27 = 0

(3^(x^2))^2 - 12·3^(x^2) + 27 = 0

Subst. z = 3^(x^2)

z^2 - 12·z + 27 = 0 --> z = 9 ∨ z = 3

3^(x^2) = 9 --> x = ± √2

3^(x^2) = 3 → x = ± 1

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Auch das war nicht die Frage. Die hat abakus schon beantwortet.

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Auch das war nicht die Frage. Die hat abakus schon beantwortet.

Dann hoffe ich, dass alle Fragen von minimouse187 beantwortet sind. Wenn nicht einfach nochmals nachfragen.

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Mein Ansatz ist der selbstgeschriebene. Um den geht es mir hauptsächlich

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Text erkannt:

\( g^{x^{2}}=\left(3^{2}\right)^{x^{2}}=\left(3^{x^{2}}\right)^{2} \)

Gibt es hierzu eine allgemeine Regel? Bzw. wieso darf ich das machen?

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Mein Ansatz ist der selbstgeschriebene. Um den geht es mir hauptsächlich

Den vereinfachst du im ersten Schritt zu

1/9·9^(x^2) - 36/27·3^(x^2) + 3 = 0

und dann geht das weiter wie z.B. von mir oben geschrieben.

Wichtig wäre also, dass du erkennen kannst, dass man die Gleichung durch Substitution auf eine quadratische Gleichung bringen kann.

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Die Potenzgesetze helfen

(a^b)^c = a^(b·c) = a^(c·b) = (a^c)^b

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Okay ich war mir nur unsicher weil bei 9^x^2 bereits eine Potenz ist. Und ich wusste nicht ob ich die zweier Potenz von 3^2 dann nach außen ziehen kann

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Vielleicht siehst du, dass in der Musterlösung genau so die Exponenten vertauscht wurden. Und jetzt weißt du auch das es aufgrund der Potenzgesetze möglich ist.

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Zuletzt noch eine Frage zur Substitution

Text erkannt:

\( \begin{aligned} v 1 & =3 x^{2} \\ 9 & =3 x^{2} \\ 3^{2} & =3 x^{2} \\ 2 & =x^{2} \quad \mid \neq \sqrt{7} \\ +\sqrt{2} & =x_{1} \\ -\sqrt{2} & =x_{2}\end{aligned} \)

Kann ich die Gleichung nur lösen indem ich die Basen auf eine Zahl bringe ?

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Achte daraus das x^2 im Exponenten steht. 3x^2 ist so also verkehrt.

Und es bietet sich förmlich an, die Gleichung über einen Exponentenvergleich zu lösen. Man könnte auch auf beiden Seiten den Logarithmus nehmen.

3^(x^2) = 9

LN(3^(x^2)) = LN(9)

x^2·LN(3) = LN(9)

x^2 = LN(9) / LN(3)

x^2 = 2

x = ± √2

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Könnten sie mir einmal zeigen wie man das mit dem Logarithmus lösen kann

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Ich habe das oben doch mit dem LN gemacht. Das ist der natürliche Logarithmus.

Answer 2

Könnte man sie auch mit meinem Ansatz

Natürlich. Du hast im nächsten Schritt \( \frac{1}{9} (3^{x^2})^2-\frac{36}{27}3^{x^2}+3=0\)

Comments

Okay, danke habe es verstanden

Answer 3

\( \frac{1}{9} \cdot (3^{x^2})^2-\frac{36}{27} \cdot 3^{x^2}+3=0|\cdot 9 \)

Lösung ohne Substitution:

\( (3^{x^2})^2-12 \cdot 3^{x^2}+27=0|-27\)

\( (3^{x^2})^2-12 \cdot 3^{x^2}= -27\)

\( (3^{x^2})^2-12 \cdot 3^{x^2}+(\frac{12}{2})^2= -27+(\frac{12}{2})^2\)

\( (3^{x^2}-6)^2=9|±\sqrt{~~}\)

1.)

\( 3^{x^2}-6=3\)

\( 3^{x^2}=9\)

\( 3^{x^2}=3^2\)

\(x^2=2\)

\(x_1=\sqrt{2}\)

\(x_2=-\sqrt{2}\)

2.)

\( 3^{x^2}-6=-3\)

\( 3^{x^2}=3\)

\( 3^{x^2}=3^1\)

\( x^2=1\)

\( x_3=1\)

\( x_4=-1\)

\(f(x)= \frac{1}{9} \cdot (3^{x^2})^2-\frac{36}{27} \cdot 3^{x^2}+3 \)