Wie bestimmt man eine Äquivalenzklasse [1]~?

Question

Hi liebe Community )

Aufgabe:
b) Auf Z ist durch a ∼ b :⇔ 5 | 2a − 7b eine Äquivalenzrelation gegeben.
i) Zeigen Sie: Diese Relation ist transitiv...
ii) Bestimmen Sie die Äquivalenzklasse [1]∼

Die Aufgabe i) hab ich problemlos hinbekommen, nur weiß ich nicht: Wie bestimmt man die Äquivalenzklasse [1]~?
Ich habe mir eine Musterlösung einer anderen Aufgabe angeschaut, wo die Relation ein Gleichheitszeichen hatte, aber bei Teilbarkeit bin ich raus :D

Ich hab versucht für a = 1 dann 5 | 2*1 - 7b und das wäre für b=1 in fact 5|, aber das ist doch nicht schon die richtige Lösung, oder? Wenn ich 2a-7b = 5k bzw umschreibe, dann weiß ich aber auch nicht weiter, was ich damit anfangen soll...

Bin etwas verloren, wäre für jeden Tipp und Trick dankbar :)

Answer 1

5 | 2*1 - 7b ist ein guter Ansatz. Da kannst du etwas weiter

umformen 5 | 2 - 5b - 2b und weil 5b immer durch 5 teilbar ist.

ist das erfüllt für 5| 2 - 2b bzw.  5 | 2*(1-b)

und das ist ja offenbar genau dann erfüllt, wenn 5| (b-1),

also b=1 oder b=6 oder b=11 etc.

Also ist die Klasse [1]∼, die Menge { b∈ℤ| b=1-5*k und k∈ℤ}

Da könnte man auch schreiben { b∈ℤ| b≡1 mod 5 }.

Comments

Vielen lieben dank, das war gut erklärt :)