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Aufgabe:

Hallo


Problem/Ansatz:

0001.jpg

Text erkannt:

2. Aufgabe: Volumenintegrale
a) Berechnen Sie das Volumen des Körpers in \( \mathbb{R}^{3} \), der im ersten Oktant (d.h. \( x \geq 0 \), \( y \geq 0, z \geq 0) \) enthalten ist und durch die Fläche \( z=4-x^{2}-y \) eingeschränkt ist.

Screenshot 2.jpg

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}2 a) \\ \int \limits_{0}^{2} \int \limits_{0}^{-x^{2}+4} 4-x^{2}-y d y d x \\ =\underbrace{\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{0}^{-x^{2}+4} 4 d y d x}_{1 .}-\underbrace{\iint_{0}^{2} \int \limits_{0}^{-x^{2}+4} x^{2} d y d x}_{2}-\underbrace{\int \limits_{0}^{2} \int \limits_{0}^{-x^{2}+4} y d y d x}_{3 .} \\ \text { 1.: } \int \limits_{0}^{2}-4 x^{2}+16 d x=\left[-\frac{4}{3} x^{3}\right]_{0}^{2}+16[x]_{0}^{2} \\ =-\frac{4}{3} \cdot 8+32=32-\frac{32}{3} \\ =\frac{96}{3}-\frac{32}{3}=\frac{64}{3} \\ 2.8+\int^{2} x^{4}-4 x^{2} d x=\frac{1}{5}\left[x^{5}\right]_{0}^{2}-\frac{4}{3}\left[x^{3}\right]_{0}^{2} \\\end{array} \)

Screenshot 3.jpg

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} 3 .: \int \limits_{0}^{2} \frac{1}{2}\left[y^{2}\right]_{0}^{-x^{2}+4} d x \\ =\int \limits_{0}^{2} \frac{1}{2}\left[\left(x^{2}+4\right)^{2}\right] d x=\int \limits_{0}^{2} \frac{1}{2} x^{4}-x^{2}+8 d x \\ =\frac{1}{10}\left[x^{5}\right]_{0}^{2}-\frac{1}{3}\left[x^{3}\right]_{0}^{2}+8[x]_{0}^{2}=\frac{32}{10}-\frac{8}{3}+16 \\ =\frac{248}{15} \end{array} \)
tho folat:
\( \frac{64}{3}-\frac{64}{15}+\frac{248}{15}=\frac{168}{5}=33,6 \)

Kann jemand sagen ob der Rechenweg richtig ist, also die Integrationsgrenzen. Bin da gerade iwie raus.


Danke im Voraus

Avatar von

Bin da gerade iwie raus

raus bist du einzig bei bin. Formeln.

1 Antwort

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Zu deiner Frage:

Kann jemand sagen ob der Rechenweg richtig ist, also die Integrationsgrenzen.

Die Integrationsgrenzen sind richtig.


Der eingeschlagene Rechenweg ist richtig, aber etwas umständlich.

Es ist rechnerisch günstiger, \(4-x^2-y\) mit einem Mal bzgl. \(y\) zu integrieren und den entstehenden Term in \(x\) zusammenzufassen, bevor du bzgl. \(x\) integrierst. Probier das mal.


Dein 3. Integral stimmt nicht:$$-\int_0^2\int_0^{4-x^2}y\,dy\,dx =-\frac{128}{15}$$

Also nochmal nachrechnen.


Hier das Endergebnis mit WolframAlpha.

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