Sei f : [0, ∞) → R eine stetige Funktion. Es gelte limx→∞ f(x) = 0. Zeigen Sie, dass f beschränkt ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe \( 5 \quad \) (4 Punkte)
Sei \( f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion. Es gelte \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=0 \). Zeigen Sie, dass \( f \) beschränkt ist.

Ich habe hier mal eine Frage:

Ich habe gelesen, dass man hier mit dem Satz argumentieren soll, dass eine stetige funktion auf einem abgeschlossenen/kompakten intervall ihr minimum/maximum annimmt und deswegen beschränkt ist. Aber wie argumentiere ich dann mit dem intervall [0,∞) ? Kann ich die ∞ rausziehen weil der grenzwert da ja 0 ist?
Außerdem wollte ich auch wissen, ob ich den beweis mit der Definition der Folgenstetigkeit zeigen kann:
Für jedes x₀ existiert eine folge a_n, sodass diese gegen den funktionswert f(x₀) konvergiert. Und konvergenz sagt ja, dass dieser grenzwert ≠ ∞ und dass a_n beschränkt ist, somit existiert immer ein K ∈ ℝ, sodass |K| > |a| = lim an = f(x0). also muss f auch beschränkt sein. Geht das so?
LG

Comments

So, wie die Behauptung in der Titelzeile formuliert ist, ist sie natürlich falsch. Die Voraussetzung, dass  \( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x) = 0  sein soll, ist ganz zentral.

Answer 1

Im Prinzip teilst du den Beweis in zwei Teile auf.

Durch die Konvergenz \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0\) weißt du, dass es ein \(C\in\mathbb{R}\) geben muss mit \((x>C\implies |f(x)|<1)\). Hier habe ich \(\varepsilon=1\) in die Definition des Grenzwerts eingesetzt.

Jetzt haben wir folgenden Sachverhalt: Auf dem Intervall \((C,\infty)\) gilt \(|f(x)|<1\). Auf dem Intervall \([0,C]\) muss die Funktion aufgrund ihrer Stetigkeit beschränkt sein, es gibt also ein \(M\geq 0\) mit \(|f(x)|\leq M\) für \(x\in[0,C]\).

Insgesamt gilt also für alle \(x\in[0,\infty)\), dass \(|f(x)|\leq \max(1,M)\), die Funktion \(f\) ist also beschränkt.

Übung: Finde eine Funktion \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\) (achte auf die offene Grenze bei \(0\)!), die überall stetig ist, \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0\) erfüllt und nicht beschränkt ist.