Symmetrie beweisen bei 2 | a − 3b

Question

Aufgabe:

Wir definieren auf Z eine Relation mittels a ∼ b :⇔ 2 | a − 3b.
i) Zeigen Sie, dass es sich hierbei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Reflexivität und Transitivität hab ich hinbekommen! Nur bin ich nicht ganz sicher, wie man die Symmetrie beweist.

a~b und b~a muss ja vorliegen, also a-3b -> b-3a.

Wie beweist man denn, dass das vorliegt?

Comments

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Answer 1

a ∼ b ⇔ 2 | a − 3b    und b ∼ a ⇔ 2 | b − 3a

Wenn also a ∼ b gilt, dann hast du 2 | a − 3b, also auch

2 | a − 3b + 2b  also 2 | a-b.

Dann aber auch 2| b-a  und also auch 2 | b-a -2a somit 2| b-3a .

q.e.d.