Lineares Gleichungssystem mit Parametern usw

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 11 (5 Punkte)
Gegeben seien die Parameter \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) sowie das lineare Gleichungssystem für \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \mathbb{R} \) :
\( \begin{aligned} x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} & =1 \\ 2 x_{1}+(4+\alpha) x_{2}+(\pi \alpha+6) x_{3} & =\beta+2 \\ x_{1}+(2+\alpha) x_{2}+(3 \alpha+3) x_{3} & =2 \beta+1 \end{aligned} \)
(a) Bestimmen Sie die zugehörige erweiterte
(b) Für welche Paare \( (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^{2} \) ist \( A_{\alpha} x=b_{\beta} \) Koeffizientenmatrix nicht lösbar?
\( \left[A_{\alpha} \| b_{\beta}\right]=\left[\begin{array}{rrr||r} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & (4+\alpha) & (\pi \alpha+6) & \beta+2 \\ 1 & (2+\alpha) & (3 \alpha+3) & 2 \beta+1 \end{array}\right] \)
\( (\alpha, \beta) \in \quad\{0\} \times(\mathbb{R} \backslash\{0\}) \)

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen, ich habe eine Frage zu b) und zwar, gibt es eine einfache Methode auf das Ergebnis zu kommen, die ich nicht sehe? Oder muss ich das LGS einfach so lösen, dass am Ende a und ß nicht 0 sein können?

Answer 1

\(\left[\begin{array}{rrr||r} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & (4+\alpha) & (\pi \alpha+6) & \beta+2 \\ 1 & (2+\alpha) & (3 \alpha+3) & 2 \beta+1 \end{array}\right] \)

Ja da musst du wohl die Stufenform herstellen

Also vielleicht mal erst: 3. Zeile minus erste:

\(\left[\begin{array}{rrr||r} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & (4+\alpha) & (\pi \alpha+6) & \beta+2 \\ 0 & \alpha & 3 \alpha & 2 \beta \end{array}\right] \)

Und dann 2. Zeile minus 2*erste

\(\left[\begin{array}{rrr||r} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & \alpha & \pi \alpha & \beta \\ 0 & \alpha & 3 \alpha & 2 \beta \end{array}\right] \)

und dann noch 3. minus zweite

\(\left[\begin{array}{rrr||r} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & \alpha & \pi \alpha & \beta \\ 0 & 0 & (3-\pi) \alpha & \beta \end{array}\right] \)

Und jetzt erst mal die letzte Gleichung auswerten:

\(   (3-\pi)\cdot \alpha \cdot x_3 = \beta \)

ist NICHT lösbar, genau dann, wenn α=0 und gleichzeitig ß≠0 ist.

Und das heißt ja

\( (\alpha, \beta) \in \quad\{0\} \times(\mathbb{R} \backslash\{0\}) \)

Dann musst du nur noch prüfen, ob für den Fall dass dies

nicht erfüllt ist, auch die anderen beiden Gleichungen lösbar

sind, aber dem ist wohl so.

Answer 2

Durch genaues Hinsehen sieht man, dass Zeile 2 das Doppelte von Zeile 3 für \( \alpha =0 \) und \( \beta =0 \) ist. Sowas kann man sehen und es schadet auch nicht, sowas erstmal zu testen. In dem Fall hätte man dann unendlich viele Lösungen. Wählt man daher \( \beta \neq 0 \), führt das sofort zum Widerspruch.