Besitzt das Prima mit dem größten Volumen auch die größtmögliche Oberfläche?

Question

Aufgabe:

Besitzt das Prima mit dem größten Volumen auch die größtmögliche Oberfläche?

O(x) = (-2x²+9x+65+ 4sqrt(5x²+10x+50))
V(x) = (-4x²+10x+50)
Vmax= 56,25 für x= 1,25

[Mir bekannte mögliche Lösungswege: Quadratische Ergänzung ; Berechnung des Scheitelpunkts]

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich Omax?

[Lösung zu Omax: Omax= 121,2 für x= 4,2]

Comments

Die Musterlösung für die Oberfläche ist gerundet.

Answer 1

Zur Beantwortung der Frage brauchst du doch kein O_max .

Es ist O(1,25)=106,7  und O(2)=112,9

also bei 1,25 kein Maximum.

Answer 2

Besitzt das Prima mit dem größten Volumen auch die größtmögliche Oberfläche?

Wenn es nur um diese Fragestellung geht, reicht es aus, zu zeigen, dass die Extremstellen nicht übereinstimmen. Beide Größen hängen ja offensichtlich von \( x \) ab, das heißt für ein festes \( x \) wird ein bestimmtes Prisma beschrieben. Zeige also, dass die Oberfläche für \( x=1,25 \) nicht maximal ist. Man findet sicherlich schnell einen Wert der größer ist.

Willst du auch wirklich die maximale Oberfläche berechnen, so musst du \( O \) ableiten. Ist dir dieses Konzept schon bekannt? Wie lautet die Aufgabe sonst im Original?

Answer 3

O'(x)= 0

-4x+9+4*0,5*(5x^2+10x+50)^-0,5+(10x+10)

Bilde den Hauptnenner und setze den Zähler Null.

https://www.wolframalpha.com/input?i=maximize+%28-2x%C2%B2%2B9x%2B65%2B+4sqrt%285x%C2%B2%2B10x%2B50%29%29+

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 4

[Mir bekannte mögliche Lösungswege: Quadratische Ergänzung ; Berechnung des Scheitelpunkts]

Damit kannst du quadratische Funktionen analysieren. Da O(x) allerdings keine reine quadratische Funktion ist, kommst du mit dem Wissen für Parabeln nicht weiter.

Aber natürlich kannst du die Funktionen skizzieren. Also mit einer Wertetabelle Punkte berechnen und die Punkte verbinden.

Dann sieht man das die Hochpunkte an verschiedenen Stellen von x liegen.

~plot~ -4x^2+10x+50;-2x^2+9x+65+4sqrt(5x^2+10x+50);[[0|13|0|130]] ~plot~