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Aufgabe:

f(x) = (3x^2-4)*e^(-x-7)

f'(x) = (-3x^2+6x+4)*e^(-x-7)


Problem/Ansatz:

Obige Funktion habe ich mithilfe der Produkt- & Kettenregel abgeleitet, jedoch stellt mir sich da eine Frage: Ich verstehe grundsätzlich die Vorgehensweise, sonst hätte ich die Ableitung auch nicht bilden können, aber warum ist die äußere Funktion der verketteten E-Funktion e^(-x-7) und nicht e^x? Denn die -x-7 ist doch die innere Funktion. Hätte ich die Aufgabe gestellt bekommen mit dem Hinweis, dass die Kettenregel im Endeffekt "äußere mal innere Ableitung" ist, hätte ich als äußere Ableitung e^x und als innere Ableitung -1 ermittelt. Da wir aber gelehrt bekommen haben, dass der Exponent übernommen wird, verstehe ich somit die Vorgehensweise, jedoch nicht den Sinn, warum die -x-7 zur äußeren Funktion dazugehört.

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Hätte ich die Aufgabe gestellt bekommen mit dem Hinweis, dass die Kettenregel im Endeffekt "äußere mal innere Ableitung" ist, hätte ich als äußere Ableitung ex und als innere Ableitung -1 ermittelt. ✓

Da wir aber gelehrt bekommen haben, dass der Exponent übernommen wird, verstehe ich somit die Vorgehensweise, jedoch nicht den Sinn, warum die -x-7 zur äußeren Funktion dazugehört.

"Dazugehört" in dem Sinne, dass die Ableitung von e-x-7  ja genau genommen

äußere AN DER STELLE DER INNEREN mal innere Ableitung"

Dann gibt es also  e-x-7 * (-1)  =  -e-x-7 .

Avatar von 289 k 🚀

Danke, so habe ich das ja letztendlich auch gemacht. Jedoch verwirrt mich diese Vorgehensweise, ehrlich gesagt, total. Wenn ich die äußere Ableitung bilde, habe ich doch e^x. Dann äußere mal innere Ableitung: e^x*(-1) So hätte ich das gemacht, hätten wir, wie bereits erwähnt, nicht gelehrt bekommen, dass der Exponent mit abgeschrieben wird. Warum dies so ist, verstehe ich jedoch immer noch nicht.

Wie machst du es denn bei f(x) = ( 2x^2 + 1)^7

Da ist a(x)=x^7 die äußere und i(x)=2x^2 + 1 die innere.

Die Ableitung ist a ' ( i(x)) * i ' (x)

                      = 7* ( 2x^2 + 1)^6 * 4x

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Die äußere Funktion ist y = e^x bzw. f(z) = e^z und die innere ist z(x) = -x - 7

Die verkettete Funktion ist dann

f(z(x)) = e^{-x - 7}

Avatar von 488 k 🚀

Ja, aber die Ableitung?

f ' (z(x)) * z ' (x) .

Und wie du siehst, bleibt bei der äußeren Ableitung der Funktion die Funktion im inneren erhalten.

f(z) = e^z
f'(z) = e^z

Und das z muss ja jeweils durch die innere Funktion ersetzt werden.

Aus dem Grund nehme ich auch als äußere Funktion lieber e^z statt e^x. Ansonsten kommen viele Schüler extrem durcheinander. Denke also daran das ein z immer durch die innnere Funktion ersetzt wird.

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Es gilt:

f(x) = e^(g(x))

f '(x) = f(x)* g'(x)

und:

f(x) = (g(x))^n

f '(x) = n*(g(x))^(n-1)* g'(x)

vgl:

https://www.ableitungsrechner.net/

Avatar von 39 k

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