Ableitung mithilfe der Ketten- & Produktregel

Question

Aufgabe:

f(x) = (3x^2-4)*e^(-x-7)

f'(x) = (-3x^2+6x+4)*e^(-x-7)

Problem/Ansatz:

Obige Funktion habe ich mithilfe der Produkt- & Kettenregel abgeleitet, jedoch stellt mir sich da eine Frage: Ich verstehe grundsätzlich die Vorgehensweise, sonst hätte ich die Ableitung auch nicht bilden können, aber warum ist die äußere Funktion der verketteten E-Funktion e^(-x-7) und nicht e^x? Denn die -x-7 ist doch die innere Funktion. Hätte ich die Aufgabe gestellt bekommen mit dem Hinweis, dass die Kettenregel im Endeffekt "äußere mal innere Ableitung" ist, hätte ich als äußere Ableitung e^x und als innere Ableitung -1 ermittelt. Da wir aber gelehrt bekommen haben, dass der Exponent übernommen wird, verstehe ich somit die Vorgehensweise, jedoch nicht den Sinn, warum die -x-7 zur äußeren Funktion dazugehört.

Answer 1

Hätte ich die Aufgabe gestellt bekommen mit dem Hinweis, dass die Kettenregel im Endeffekt "äußere mal innere Ableitung" ist, hätte ich als äußere Ableitung e^x und als innere Ableitung -1 ermittelt. ✓

Da wir aber gelehrt bekommen haben, dass der Exponent übernommen wird, verstehe ich somit die Vorgehensweise, jedoch nicht den Sinn, warum die -x-7 zur äußeren Funktion dazugehört.

"Dazugehört" in dem Sinne, dass die Ableitung von e^-x-7  ja genau genommen

äußere AN DER STELLE DER INNEREN mal innere Ableitung"

Dann gibt es also  e^-x-7 * (-1)  =  -e^-x-7 .

Comments

Danke, so habe ich das ja letztendlich auch gemacht. Jedoch verwirrt mich diese Vorgehensweise, ehrlich gesagt, total. Wenn ich die äußere Ableitung bilde, habe ich doch e^x. Dann äußere mal innere Ableitung: e^x*(-1) So hätte ich das gemacht, hätten wir, wie bereits erwähnt, nicht gelehrt bekommen, dass der Exponent mit abgeschrieben wird. Warum dies so ist, verstehe ich jedoch immer noch nicht.

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Wie machst du es denn bei f(x) = ( 2x^2 + 1)^7

Da ist a(x)=x^7 die äußere und i(x)=2x^2 + 1 die innere.

Die Ableitung ist a ' ( i(x)) * i ' (x)

                      = 7* ( 2x^2 + 1)^6 * 4x

Answer 2

Die äußere Funktion ist y = e^x bzw. f(z) = e^z und die innere ist z(x) = -x - 7

Die verkettete Funktion ist dann

f(z(x)) = e^{-x - 7}

Comments

Ja, aber die Ableitung?

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f ' (z(x)) * z ' (x) .

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Und wie du siehst, bleibt bei der äußeren Ableitung der Funktion die Funktion im inneren erhalten.

f(z) = e^z
f'(z) = e^z

Und das z muss ja jeweils durch die innere Funktion ersetzt werden.

Aus dem Grund nehme ich auch als äußere Funktion lieber e^z statt e^x. Ansonsten kommen viele Schüler extrem durcheinander. Denke also daran das ein z immer durch die innnere Funktion ersetzt wird.

Answer 3

Es gilt:

f(x) = e^(g(x))

f '(x) = f(x)* g'(x)

und:

f(x) = (g(x))^n

f '(x) = n*(g(x))^(n-1)* g'(x)

vgl:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 4

\(f(x) = (3x^2-4)\cdot e^{-x-7}\)

Falls Produktregel nicht in der Vorgabe ist:

\(f(x) = (3x^2-4)\cdot e^{-x-7}=(3x^2-4)\cdot e^{-(x+7)}\)

\(f(x) = \frac{3x^2-4}{e^{1\cdot x+7}}\)    Nun mit der Quotientenregel:

\(u=3x^2-4\)  →  \(u'=6x\)

\(v= e^{1\cdot x+7}\)   → \(v'= e^{1\cdot x+7}\cdot 1=e^{ x+7}\)

\(f'(x) =\frac{6x\cdot \red {e^{ x+7}}-(3x^2-4) \cdot \red {e^{ x+7}}}{\red {(e^{x+7})}^2}\)    Kürzen:

\(f'(x) =\frac{6x-(3x^2-4) }{e^{x+7}}=\frac{6x-3x^2+4}{e^{x+7}}\)

           

Comments

u= 3x^2-4, u' = 6x

v= e^(-x-7), v' = e^(-x-7)*(-1)

zusammenbauen: zu u'v + u*v'

6x*e^(-x-7)- (3x^2-4)* e^(-x-7)

= e^(-x-7)*(6x-3x^2+4) = (-3x^2+6x+4)/e^(x+7)