Welche zylindrische Dose mit 1 Liter Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch?

Question

Aufgabe:

6. Welche zylindrische Dose mit 1 Liter Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch?
7. Ein Gärtner besitzt einen Vorrat an Umrandungssteinen, der insgesamt für eine Strecke von 10 m
reicht. Er möchte damit ein kreisförmiges Rosenbeet und ein quadratisches Tulpenbeet
abgrenzen. Welche Maße sollten die Beete erhalten, wenn die Gesamtfläche und damit der
Bedarf an Pflanzen möglichst klein ausfallen soll?

Answer 1

6.

V = pi·r²·h = 1000 --> h = 1000/(pi·r²)

O = 2·pi·r² + 2·pi·r·h
O = 2·pi·r² + 2·pi·r·1000/(pi·r²)
O = 2·pi·r² + 2000/r
O' = 4·pi·r - 2000/r² = 0 → r = (500/pi)^(1/3) ≈ 5.4 cm

h = 1000/(pi·((500/pi)^(1/3))²) = (4000/pi)^(1/3) = 2·r

Eine Dose mit einem Durchmesser von 5.4 cm und einer Höhe von 10.8 cm hat den kleinsten Materialverbrauch.

Comments

7.

U = 2·pi·r + 4·a = 1000 --> a = 250 - pi/2·r

A = pi·r² + a²
A = pi·r² + (250 - pi/2·r)²
A = pi·(pi + 4)/4·r² - 250·pi·r + 62500
A' = pi·(pi + 4)/2·r - 250·pi = 0 --> r = 500/(pi + 4) = 70.0 cm

a = 250 - pi/2·(500/(pi + 4)) = 1000/(pi + 4) = 2·r

Der Kreis sollte einen Radius von etwa 70 cm haben und das Quadrat eine Seitenlänge von etwa 140 cm.