Question

Wie beweist man die Additions-/Multiplikations-therme? (sin(x)*sin(y) = ..)

Problem/Ansatz:

Wie kann man Mathematisch beweisen, was

\(\sin(x) \sin(y)\) ist? Also es gibt aus den Trigonometrische Funktionen diese Formel

\(\sin(x) \sin(y) = \frac{1}{2} \left( \cos(x - y) - \cos(x + y) \right)\)

Aber ich verstehe nicht wirklich wie man es hergeleitet/bewiesen/ gezeigt hat. Als ich es versuchte zu beweisen kam immer null raus.

Answer 1

Zunächst mal würde ich bei der Therme die Temperatur runterregeln (du weißt schon: Energie sparen...)

Beweisen kannst du es am besten, wenn du dir den RECHTEN Term vornimmst und die beiden Summanden

cos(x-y) und cos(x+y) jeweils mit den Additionstheoremen der Kosinusfunktion bearbeitest.

https://www.matheretter.de/wiki/additionstheoreme

Comments

Das habe ich gemacht, allerdings kürzt sich irgendwie alles weg oder ich komme generell nicht zur sind(x)sin(y)...

Ich weiß nicht was ich falsch mache :/

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Ohne deine Rechnung wissen wir das auch nicht.

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Naja, ich habe halt es so geschrieben

\(\frac{1}{2} \left( \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y) + \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y) \right)\)

Aber so ergibt sich kein sin(x)sin(y)

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Naja, ich habe halt es so geschrieben\(\frac{1}{2} \left( \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y) + \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y) \right)\)

Und warum hast du das getan????

Die rechte Seite hat die Form

\( \frac{1}{2} \left( \cos(x - y) MINUS \cos(x + y) \right)\).

Das ergibt

\( \frac{1}{2} \left( cos (x) cos(y)+ sin (x) sin (y)\right) MINUS \left(cos (x) cos(y) - sin (x) sin (y)\right)\).

Da brauchst du kein komplexes Gedöns, stattdessen solltest du die in Klasse 8 gelernten Regen zur Subtraktion von Differenzen auffrischen.

Answer 2

Wenn man schon komplexe Zahlen kennt, lassen sich die Additionstheoreme auch über die Euler-Identitäten zeigen, das heißt mit

\( \sin(x) =\frac{1}{2\mathrm{i}} (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}) \)

\( \cos(x) =\frac{1}{2} (\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} +\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}) \)

Comments

Stimmt! Daran habe ich gar nicht gedacht XD.. Danke!