Berechne das Volumen, welches entsteht, wenn die eingeschlossene Fläche um die x-Achse rotiert.

Question

Aufgabe:

Berechne das Volumen, welches entsteht, wenn die eingeschlossene Fläche um die x-Achse rotiert.
Gegebene Funktionen: Hyperbel x^2-(y^2/4)=1 und Parabel y^2=6x

Problem/Ansatz:
Wir haben die Formel für die Berechnung das Volumen von Rotationskörpern gelernt. Diese funktioniert hier jedoch nicht.
Ich denke, man muss auf jeden Fall die Gleichungen auf y bzw y^2 umstellen.
Jedoch weiß ich ab da auch nicht mehr weiter, weil eben der normale Weg nicht funktioniert.

Answer 1

Aloha :)

Die Formel für das Rotationsvolumen funktioniert auch hier. Von derm Rotationsvolumen der Parabel über dem Intervall \(x\in[0;2]\) kannst du doch das Rotationsvolumen der Hyperbel über dem Intervall \(x\in[1;2]\) subtrahieren:$$V=V_{\text{Par}}-V_{\text{Hyp}}=\pi\int\limits_{x=0}^2y_{\text{Par}}^2\,dx-\pi\int\limits_{x=1}^2y_{\text{Hyp}}^2\,dx=\pi\int\limits_{x=0}^26x\,dx-\pi\int\limits_{x=1}^2(4x^2-4)\,dx$$$$\phantom V=\pi\left[3x^2\right]_0^2-\pi\left[\frac43x^3-4x\right]_1^2=12\pi-\frac{16}{3}\pi=\frac{20}{3}\pi$$