Induktion 1*2+2*3+...+(n-1)*n = ((n-1)*n*(n+1))/3

Question

1*2+2*3+...+(n-1)*n = ((n-1)*n*(n+1))/3


Kann mir da jemand weiterhelfen bitte?

Oder mir zumindest sagen wie ich da denken muss, also was da die Summe ist und so?


Danke :)


LG

Answer 1

Vollständige Induktion: 1·2 + 2·3 + ... + (n - 1)·n = (n - 1)·n·(n + 1)/3

1·2 + 2·3 + ... + (n - 1)·n = (n - 1)·n·(n + 1)/3

 

Wir zeigen das es für n = 1 und n = 2 gilt:

(1 - 1)·1 = (1 - 1)·1·(1 + 1)/3

0 = 0

 

(2 - 1)·2 = (2 - 1)·2·(2 + 1)/3

2 = 2

 

Nun zeigen wir das es für n + 1 gilt unter der Bedingung das es für n gilt:

1·2 + 2·3 + ... + (n - 1)·n + n·(n + 1) = ((n + 1) - 1)·(n + 1)·((n + 1) + 1)/3

(n - 1)·n·(n + 1)/3 + n·(n + 1) = n·(n + 1)·(n + 2)/3

(n - 1)·n·(n + 1) + 3·n·(n + 1) = n·(n + 1)·(n + 2)

(n - 1) + 3 = (n + 2)

n + 2 = n + 2

Damit ist es für alle n gezeigt.

Comments

(n - 1)·n·(n + 1) + 3·n·(n + 1) = n·(n + 1)·(n + 2)

Was erfolgt in diesem Rechenschritt?

Wird hier dann n*(n+1) weggekürzt oder wie?

Danke nochmals, hat mir sehr geholfen!


LG

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Richtig. Ich kürze auf beiden Seiten durch die Faktoren die überall vorhanden sind.

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n·(n + 1)·(n + 2)

und warum ergibt das n+2?

Das verstehe ich nicht.

Kannst du mir das noch bitte kurz erklären? - Danke :)

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Achso habs schon verstanden, vielen Dank :)