Allgemeiner Term für Brüche mit dem Wert 2

Question

Nennen Sie einen allgemeinen Term für Brüche mit dem Wert 2, deren Zähler und Nenner jeweils die Summe von 5 aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist.

Comments

Bei

\(\displaystyle \frac{a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2}{b^2+(b+1)^2+(b+2)^2+(b+3)^2+(b+4)^2} =2 \)

ist die Folge

a	b
8	5
56	39
336	237
1968	1391
11480	8117
66920	47319
390 048	275 805
2 273 376	1 607 519
13 250 216	9 369 317
...	...

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Soweit sehr schön. Die Schwierigkeit ist, jeweils das Muster der Folge unter a und der Folge unter b zu finden.

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Ja. Das CAS hat es gefunden. Ich nicht. Ich nehme an, der CAS-Output interessiert Dich nicht.

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Deine CAS-Lösung ist ein Anfang, den man auf Muster untersuchen kann.

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Na dann stelle ich es hier ein:

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Steckt darin die Musterbeschreibung der Zahlenfolgen

8, 56, 336, 1968, 11480, 66920, 390 048, 2 273 376, 13 250 216, …
und 5, 39, 237, 1391, 8117, 47319, 275 805, 1 607 519, 9 369 317 …?

Answer 1

5 aufeinanderfolgende Quadratzahlen sind (a-2)²+(a-1)²+a²+(a+1)²+(a+2)² =5a²+10

Entsprechend ist der Nenner (b-2)²+....+(b+2)²=5b²+10

Damit muss \( \frac{5b²+10}{5a²+10}=2 \) bzw. 5b²+10=10a²+20 gelten.

Also gilt b²= 2a²+2

Wir müssen also natürliche Zahlen a suchen, für die 2a²+2 wieder eine Quadratzahl ist.

Mit a² und b² haben wir dann jeweils die mittlere der 5 Quadratzahlen.

@Arsinoé4

Danke für die Korrektur.

Comments

Also gilt b²= 2a²+5

Oder b² = 2a² + 2 ?