Hi, da wurde eigentlich kein besonderer Trick verwendet, einfach nach Bruchregeln ausmultiplizieren: $$\color{red}{0.1} \ \frac{(1+z^{-1})^2}{1-z^{-1}+0.5z^{-2}} \cdot \color{red}{0.3} \cdot \frac{1+z^{-1}}{1-0.4z^{-1}} = \color{red}{0.03} \ \frac{(1+z^{-1})^2}{1-z^{-1}+0.5z^{-2}} \cdot \frac{1+z^{-1}}{1-0.4z^{-1}}$$ Jetzt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, fangen wir mit dem Zähler an: $$0.03 \ \frac{(1+z^{-1})^\color{red}{2}}{1-z^{-1}+0.5z^{-2}} \cdot \frac{\color{red}{1+z^{-1}}}{1-0.4z^{-1}} = 0.03 \ \frac{(1+z^{-1})^\color{red}{3}}{1-z^{-1}+0.5z^{-2}} \cdot \frac{1}{1-0.4z^{-1}} \ .$$ Jetzt Nenner ausmultiplizieren: $$0.03 \ \frac{(1+z^{-1})^3}{1 - 0.4z^{-1}-z^{-1}+0.4z^{-2}+0.5z^{-2}-0.2z^{-3}} $$ und zuletzt zusammenfassen: $$0.03 \ \frac{(1+z^{-1})^3}{1 - 1.4z^{-1}+0.9z^{-2}-0.2z^{-3}} \ . $$ Um auf deine Form zu kommen, müssen wir noch die Klammer im Zähler ausmultiplizieren. Entweder du kennst dafür die Formel und wenn nicht machst du das mit der binomischen Formel: $$0.03 \ \frac{(1+z^{-1})^3}{1 - 1.4z^{-1}+0.9z^{-2}-0.2z^{-3}} = 0.03 \ \frac{(1+z^{-1})^2 \cdot (1+z^{-1})}{1 - 1.4z^{-1}+0.9z^{-2}-0.2z^{-3}} $$
$$= 0.03 \ \frac{(1 + 2z^{-1} + z^{-2}) \cdot (1+z^{-1})}{1 - 1.4z^{-1}+0.9z^{-2}-0.2z^{-3}} = 0.03 \ \frac{1 + z^{-1} + 2z^{-1}+2z^{-2} + z^{-2} + z^{-3}}{1 - 1.4z^{-1}+0.9z^{-2}-0.2z^{-3}}$$
$$= 0.03 \ \frac{1 + 3z^{-1}+3z^{-2} + z^{-3}}{1 - 1.4z^{-1}+0.9z^{-2}-0.2z^{-3}} \ .$$
