3.1 a)
Parameterdarstellung
\(\vec{OX} = \vec{OA_1}+r\cdot \frac{1}{3}\vec{A_1B_1}\)
der Geraden \(G_1\) aufstellen. Der Faktor \(\frac{1}{3}\) dient dazu, dass der Parameter \(r\) "Anzahl der Zeiteinheiten" bedeutet. Das heißt \(\vec{OX}\) ist der Ortsvektor des Punktes, den das Flugobjekt nach \(r\) Zeiteinheiten erreicht hat.
Welchen Punkt hat F1 nach 30 Zeiteinheiten erreicht?
Denn Punkt nach \(30\) Zeiteinheiten kannst du dann berechnen indem du \(r=30\) einsetzt.
Untersuche ob F1, durch den Punkt P (3/3/6) fliegt.
Um zu prüfen, ob das Flugobjekt den Punkt \(P\) erreicht, setze den Ortsvektor von \(P\) in obige Paramterdarstellung ein und prüfe ob die so entstandene Gleichung eine nicht-negative Lösung für \(r\) hat.
Wieso wird [der Punkt C] vom Flugobjekt F1 nicht erreicht?
Der Punkt \(C\) wird nicht erreicht, weil es nach einsetzen von \(\vec{OC}\) in obige Paramterdarstellung keine solche Lösung für \(r\) gibt.
3.1 b)
Zeige dass die Gerade G1 die Ebene E schneidet.
Die Parameterdarstellung
\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}+k\cdot \begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{pmatrix}\)
kann zusammengefasst werden zu
\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_1+kw_1\\v_2+kw_2\\v_3+kw_3\end{pmatrix}\).
Mache das mit der Parameterdartellung von \(G_1\) und setze in die Gleichung der Ebene ein. Prüfe ob die so entstandene Gleichung eine Lösung hat.
Bestimme die Größe des Schnitt-winkels zwischen g1 und E.
Lies aus der Koordinatenform von \(E\) einen Normalenvektor der Ebene ab. Verwende
\(\cos\angle \vec{v}\vec{w} = \frac{\vec{v}*\vec{w}}{\left|\vec{v}\right|\cdot \left|\vec{w}\right|}\)
um den Winkel zwischen Richtungsvektor der Geraden und Normale der Ebene zu bestimmen. Ziehe den Winkel von 90° ab. Dabei bezeichnet \(*\) das Skalarprodukt.
Nach wie vielen Zeiteinheiten geht F1 , durch die Ebene E?
Das ist der Wert des Parameters, den du am Anfang der Teilaufgabe b) bestimmt hast.
3.2 a)
Prüfen Sie, ob G1, und G2 einen Punkt gemeinsam haben.
Parameterdartellung der beiden Geraden gleichsetzen. Achte darauf, unterschiedliche Buchstaben für die Parameter zu verwenden. Die Geraden haben einen Punkt gemeinsam, wenn die so so entstande Gleichung eine Lösung hat.
3.2 b)
Wie groß ist der Abstand zwischen den Flugbahnen G1, und G2?
Der Abstand der Geraden \(g_1\) und \(g_2\) ist der Abstand der zwei Punkte \(P_1\) auf \(g_1\) und \(P_2\) auf \(g_2\), der minimal ist. Das ist dann der Fall, wenn \(\vec{P_1P_2}\) sowohl senkrecht zu \(g_1\) als auch zu \(g_2\) ist.
Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt \(0\) ergibt.
Löse also das Gleichungssystem
\(\begin{aligned} \left(\left(\vec{OA_1}+r\cdot \frac{1}{3}\vec{A_1B_1}\right)-\left(\vec{OA_2}+k\cdot \frac{1}{6}\vec{A_2B_2}\right)\right)*\vec{A_1B_1} &= 0\\ \left(\left(\vec{OA_1}+r\cdot \frac{1}{3}\vec{A_1B_1}\right)-\left(\vec{OA_2}+k\cdot \frac{1}{6}\vec{A_2B_2}\right)\right)*\vec{A_2B_2} &= 0 \end{aligned}\)
Setze eine Lösung in die entsprechenden Parameterdarstellungen ein um die Ortsvektoren von \(P_1\) und \(P_2\) zu bestimmen.
3.3 a)
Wie groß ist die Entfernung zwischen den Startpunkten A1 , und A2 ?
Entfernung zwischen den Punken \(A_1\) und \(A_2\) ist der Betrag des Vektors \(\vec{A_1A_2}\).
Den Betrag \(\left|\vec{v}\right|\) eines Vektors \(\vec v\) berechnet man mittels
\(\left|\vec{v}\right| = \sqrt{\vec{v}*\vec{v}}\).
Zeigen Sie, dass 6 Zeiteinheiten nach Beobachtungsbeginn die Entfernung zwischen den beiden Flugobjekten geringer geworden ist.
Setze \(6\) in die Parameterdarstellungen beider Geraden ein und berechne den Betrag deer Differenz der so erhaltenen Ortsvektoren.
Wann kommen sich die beiden Flugobjekte am nächsten?
Bestimme den Tiefpunkt von
\(d(r) = \left|\left(\vec{OA_1}+r\cdot \frac{1}{3}\vec{A_1B_1}\right)-\left(\vec{OA_2}+r\cdot \frac{1}{6}\vec{A_2B_2}\right)\right|\).
3.3 b)
Argumentiere mit dem zeitlichen Verlauf des Abstandes.
