Numerik Iterationen und Konvergenz

Question

Aufgabe:

Wir haben die Gleichung x + ln x = 0. Im Interval [\( \frac{1}{4} \), 1]

Zur numerischen Betrachtung betrachten wir die beiden Iterationen

i) y_n+1 = ln y_n

ii) z_n+1 = (z_n + e^-zn)/ 2

Entscheiden Sie jeweils, ob die Verfahren für geeignete Startwerte konvergieren und begründen Sie dies mathematisch.

Problem/Ansatz:

i) ist klar

ii) konvergiert gegen den geforderten Wert, aber wie kann man das mathematisch begründen?

Viele Grüße

Answer 1

Hallo,

zu I) Du meinst wahrscheinlich \(y_{n+1} = {\color{red}-} \ln(y_{n})\), aber das konvergiert nicht!

zu II) zunächst mal kannst Du die Gleichungen ineinander umformen$$\begin{aligned} x+\ln(x) &=0 &&|\,-x\\ \ln(x) &= -x &&|\,e^{\dots} \\ x &= e^{-x} &&|\,+x\\ 2x &= x + e^{-x} &&|\,\div 2 \\ x &= \frac{x+e^{-x}}{2} \end{aligned}$$Ein Wert von \(x\), der die letzte Gleichung erfüllt, erfüllt auch die Ausgangsgleichung.

Weiter hat die Funktion \(f(x)=\frac{x+e^{-x}}{2} \) im Intervall \([0,25\dots 1]\) eine Steigung, die größer ist als \(0\) und kleiner als \(1\) ist. Damit konvertiert es, wenn Du den Funktionswert immer wieder in die Gleichung einsetzt. (Den Namen dafür habe ich vergessen, schau in Dein Script)

https://www.desmos.com/calculator/wv2dffvtfy

oben siehst Du den Verlauf, wenn man bei \(z_0=0,4\) startet.

Gruß Werner

Answer 2

Sicherheitshalber zu i): Falls diese Iteration konvergiert, dann nicht gegen die Lösung der Gleichung.

ii) Woher weißt Du denn, dass es konvergiert? Ein Ansatz für eine math. Begründung ist der Grund, warum Du das meinst.

Weiter gibt es dazu Aussagen in der Vorlesung. Welche davon hast Du auf Anwendbarkeit hier geprüft?