Polynom als ein Produkt irreduzibler Polynome

Question

Aufgabe:

Zerlegen Sie für jeden der Körper Q, R, C, Z₃, Z₇ und Z₁₇ das Polynom X⁴ − X² − 2 in ein Produkt irreduzibler Polynome.

Problem/Ansatz:

Ehrlich gesagt habe ich gar keine Ahnung und darum auch keinen Ansatz :/

Comments

Z.B. gilt in ℤ₁₇: X⁴ - X² - 2 = (X-4)·(X+4)·(X-6)·(X+6).
Oder in ℚ: X⁴ - X² - 2 = (X²-2)·(X²+1).

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Vielen Dank! Ich habe jetzt lange versucht, nachzuvollziehen, wie man auf die Lösung kommt, aber ich schaffe es nicht. Könntest du es mir bitte erklären?

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Man kann versuchen, Nullstellen des Polynoms zu finden.
Im Fall K = ℤ₁₇ berechne X⁴ - X² - 2 mod 17 für alle 0 < X < 9 und finde Nullstellen bei 4 und 6.
Damit sind auch -4 und -6 Nullstellen, und das Polynom zerfällt komplett in Linearfaktoren.

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Ah jetzt verstehe ich es, danke! Und warum nur bis kleiner 9? Bei Z₃ habe ich keine Nullstellen gefunden, mach ich da was falsch?

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(1) Wenn \(x\) eine Nullstelle des Polynoms ist, dann ist auch \(-x\) eine.
In ℤ₁₇ heißt das, dass X₂ = -X₁ = 17 - X₁ eine Nullstelle des Polynoms ist, wenn X₁ eine ist.

(2) In ℤ₃ gibt es keine Nullstellen. Zerlege also das Polynom in das Produkt zweier quadratischer Polynome.
Etwa so: X⁴ - X² - 2 = (X² + aX + b)·(X² + cX + d) mit a,b,c,d ∈ ℤ₃.
Da ℤ₃ nur drei Elemente hat, gibt es dafür nicht viel Auswahl, außerdem muss z.B. b·d = -2 gelten.
Mit etwas Übung sieht man auch direkt, dass X⁴ - X² - 2 = X⁴ + 2X² + 1 = (X² + 1)² in ℤ₃ ist.

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Danke für Deine Hilfe!

Answer 1

x^4-x^2-2

mit Vieta:

(x^2-2)(x^2+1) = (x+√2)*(x-√2)*(x^2+1)