Symbol im Kreis: Flächenanteil?

Question

In einem gegebenen Kreis ist wie in der Zeichnung angegeben das bekannte Symbol eingezeichnet. Die vier dreieckigen (oder "pseudo-dreieckigen") Flächenstücke sollen je denselben Flächeninhalt haben. Welchen Anteil der gesamten Kreisfläche nehmen sie zusammen ein ?  

Comments

Man berechne einen Näherungswert für die Gleichung

 

α - 2·sin α · sin β  =  √27·sin^2 β  (α+β = π/6)
und erhalte einen Anteil von etwa 0,25498

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Guten Tag   hj2166

Für meine Lösung habe ich auch diese Winkel benützt und bin auf folgende Gleichung gestoßen:

2 α + 7 sin α cos α = √(3) ( sin² α + 3/2 )

Da sehe ich gerade noch, dass die Gleichung mit dem Doppelwinkel δ := 2 α  noch etwas einfacher aussehen könnte.

Zahlenmäßig stimmen unsere Ergebnisse überein:   α ≈ 0.326

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Die Gleichung für den doppelten Winkel   δ   (also mit  δ := 2 α)  wäre:

           2 δ  + 7 sin δ  =   (4 - cos δ) √(3)

Numerische Lösung (Bogenmaß) :    δ ≈ 0.652