Gibt es da aber auch andere Möglichkeiten die Nullstelle der Funktion zu bestimmen, rechnerisch und ohne …

Question

Gegeben ist folgende Funktion:

B(x)= −2x³ + 6x²+ 12x − 16

Aufgabe ist die Nullstelle rechnersich bestimmen.

Eine Möglichkeit wäre ja die Polynomdivision

Gibt es da aber auch andere Möglichkeiten die Nullstelle der Funktion zu bestimmen, rechnerisch und ohne Taschenrechner, eventuell einfacher oder schneller?

In Mathe gibt's ja immer mehrere Möglichkeiten deshalb die Frage vlt kann ich meinen "Horizont" erweitern.

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Es gibt Näherungsverfahren.

https://www.spektrum.de/lexikon/physik/naeherungsverfahren/10101

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Die Methode der Polynomdivision ist im vorliegenden Beispiel sehr nützlich. Allerdings muss man, um sie anwenden zhu können, zuerst mal eine erste Lösung schon kennen. Dies ist aber durch etwas Probieren hier auch sehr leicht. Sobald man die PD mit einer ersten Lösung durchgeführt hat, erhält man eine verbleibende quadratische Gleichung, die sich mit den bekannten Methoden auch leicht auflösen lässt.

Answer 1

Erstmal ist die PD keine Methode zur Nullstellenbestimmung. Nur ein Hilfsmittel, das im Rahmen einer Nullstellenbestimmung bei Polynomen, sofern man eine Nullstelle schon kennt, zur Anwendung kommen kann.

Im Prinzip kommt man aber nicht dran vorbei, die PD steckt dahinter, auch wenn man es nicht merkt.

Zunächst muss man ja eine Nullstelle kennen. Wenn es nur ganzzahlige Nullstellen gibt, müssen die Teiler des konstanten Glieds, also hier -16, sein.

Das Ausprobieren, ob eine Zahl eine Nullstelle ist, lässt sich aber sehr schnell erledigen mit dem Horner-Schema (google selbst, muss ja hier keine Webseiten abschreiben). Erfordert etwas Übung, geht aber sehr schnell und vor allem bekommt man die PD gratis mitgeliefert. Probier das mal aus.

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Horner-Schema

Auf dieses "Hilfsmittel" bin ich auch gestoßen da man das auch im Kopf rechnen kann.

Aber kann man dieses Schema bei jeder Funktion höheren Grades benutzen z.B ^5 ^6 oder gibt es da auch Grenzen?

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Wenn du ein Beispiel höheren Grades suchst, guckst du

https://www.geogebra.org/m/d6dywx7k

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Das geht für jeden Grad, aber man muss immer eine Nullstelle kennen und kann dann so einen Schritt weiter kommen, d.h. den Grad um 1 reduzieren. Dann wieder eine kennen usw.

Answer 2

Wenn die Summe der 4 Koeffizienten 0 ist, ist x=1 eine Lösung.

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Woher weiß man das?

Ist das eine Mathematische Regel?

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p(1) ausrechnen

Answer 3

Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Eine andere Möglichkeit ist das, aber einfacher wohl eher nicht.

Answer 4

In Mathe gibt's ja immer mehrere Möglichkeiten deshalb die Frage vlt kann ich meinen "Horizont" erweitern.

Es sei:

\(f(x)=x^3-0,9x^2-3,36x-1,6\) 

Hier bietet sich folgendes Verfahren an:

\(f'(x)=3x^2-1,8x-3,36\)

\(3x^2-1,8x-3,36=0 |:3\)

\(x^2-0,6x-1,12=0 \)

\(x^2-0,6x=1,12 \)

\(x^2-0,6x+0,3^2=1,12+0,3^2=1,21   \)

\((x-0,3)^2=1,21  |±\sqrt{~~} \)

1.)

\(x-0,3=1,1 \)

\(x_1=1,4 \)     \(f(1,4)=(1,4)^3-0,9 \cdot (1,4)^2-3,36 \cdot (1,4)-1,6=-5,324\) 

2.)

\(x-0,3=-1,1 \)

\(x_2=-0,8 \)  \(f(-0.8)=(-0.8)^3-0,9 \cdot (-0.8)^2-3,36 \cdot (-0.8)-1,6=0\)

An der Stelle \(x_2=-0,8 \) ist  nun eine doppelte Nullstelle.

Nun kannst du auch die 3. Nullstelle bestimmen .

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Funktionen dieses Verfahren bei jeder Funktion 3. Grades?

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Leider ist das nicht der Fall. Es klappt nur in besonders konstruierten Funktionen.

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Deshalb sollte dieser Ansatz einfach wieder vergessen werden.

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Deshalb sollte dieser Ansatz einfach wieder vergessen werden.

Bist du dir da so sicher, dass Lehrpersonal nicht auch die Nullstellen solcher konstruierten Funktionen gelöst haben möchte?

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Kenne niemanden, der das macht außer dir. Zumal Ableitungen erst nach der Berechnung von Nullstellen eingeführt werden.

Das einzige, wo die Argumentation mit der doppelten Nullstelle sinnvoll ist, ist, wenn man in einer vorherigen Aufgabe die Extrempunkte berechnet hat und dieser zufällig auf der x-Achse liegt.