Zeigen Sie mit Hilfe mathematischer Induktion, dass für jede positive natürliche Zahl n die Gleichung

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 1: (20 Punkte)
Für jede positive natürliche Zahl \( n \in \mathbb{N} \) sei die natürliche Zahl \( a_{n} \) gegeben durch die
\( a_{n}:=\left.1212121 \cdots 2\right|_{4} \)

Zeigen Sie mit Hilfe mathematischer Induktion, dass für jede positive natürliche Zahl \( n \) die Gleichung
\( a_{n}=\frac{2}{5} \cdot\left(16^{n}-1\right) \)
gilt.

Problem/Ansatz:

Ich hab leider keine Ahnung also wie schreibt man sowas als summe

Comments

... also wie schreibt man sowas als summe

kommt drauf an, wa Du unter 'sowas' verstehst. Falls es Dir nur um die Schreibweise im induktiven Beweis geht, so wäre dies sicher eine Möglichkeit:$$\begin{aligned} a_{n+1} &= {12\underbrace{1212\dots 12}_{=a_n}}|_4 \\ &= {12\underbrace{0000\dots 00}_{=2n\text{ Stellen}}}|_4 + a_n \\ &= 12|_4 \cdot (100|_4)^n + a_n \\ &= 6 \cdot 16^n + a_n \\ &\dots \end{aligned}$$usw. wie in der Antwort von mathef

oder direkt als Summe $$a_n= \sum\limits_{k=0}^{n-1} 12|_4 \cdot (100|_4)^k$$

Answer 1

[12]₄ ist im Dezimalsystem die Zahl 6.

[1200]₄ ist im Dezimalsystem das 16fache von [12]₄ , also 16*6.

[120000]₄ ist im Dezimalsystem das 16fache von [1200]₄ , also 16*16*6.

usw.

Answer 2

Für n=1 hast du \( a_{1}:=\left.12\right|_{4} =4+2=6\)

und es gilt \( a_{1}=\frac{2}{5} \cdot\left(16^{1}-1\right) =\frac{2}{5}\cdot 15 = 6\)

Passt also !

Wenn es für ein n gilt, dann hat man \( a_{n+1}=\left.1212121 \cdots 2\right|_{4} \)

also ein Paar (1,2)  mehr als bei a_n. Damit hat man

\( a_{n+1}=1\cdot 4^{2n+1}+2\cdot 4^{2n}+a_n \)

und wenn man einsetzt \( a_{n}=\frac{2}{5} \cdot\left(16^{n}-1\right) \) gibt das

\( a_{n+1}=1\cdot 4^{2n+1}+2\cdot 4^{2n}+\frac{2}{5} \cdot\left(16^{n}-1\right)\)

  \( =1\cdot 16^n \cdot 4+2\cdot 16^{n}+\frac{2}{5} \cdot\left(16^{n}-1\right)\)

     \( = 6\cdot 16^n+\frac{2}{5} \cdot\left(16^{n}-1\right)\)

   \( = \frac{2}{5} \cdot 15\cdot 16^n+\frac{2}{5} \cdot\left(16^{n}-1\right)\)

    \( = \frac{2}{5} \cdot \left(15\cdot 16^n+16^{n}-1\right)\)

      \( = \frac{2}{5} \cdot \left(16\cdot 16^n-1\right)\)

      \( = \frac{2}{5} \cdot \left(16^{n+1}-1\right)\)

Also gilt die Formel auch für n+1    q.e.d.

Comments

Aber warum beginnt man nicht mit a0

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Und kann man an auch generell umschreiben, weil a1 ist ja 1*4^1+2*4^0  kann man nicht mit 1*4^(2n+1)+2*4^(2n) berechnen.

Wir müssen immer eine generelle Form für an finden

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Da steht doch:

Für jede positive natürliche Zahl \( n \in \mathbb{N} \)

und 0 ist nicht positiv. Deshalb muss man mit 1 beginnen.

" kann man nicht mit 1*4^(2n+1)+2*4^(2n) berechnen."

Doch für n=1 ist a_n+1 = a₂.