Bestimmen sie: Erwartungswert

Question

Aufgabe: X und Y seien stochastisch unabhängig und gleichverteilt in [0,1]. Bestimmen sie:
a) die Erwartungswerte von Z1 = X +Y und Z2 = X(Y −X)

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen, es geht nur um Z2.

Ich kann die Klammern lösen und dann steht da XY * X^2.

X*Y = (1/2 * 1/2) und X^2 soll (1/3) sein. Kann mir mal jemand bitte sagen wie man auf E(X^2) = 1/3 kommt?

Gruß

Comments

Ihr habt mit Sicherheit eine Formel kennengelernt, wie man einen Erwartungswert berechnet. Welche wäre das?

Schade, war zu spät. Hoffentlich kannst Du aus der Antwort von d extrapolieren, wie bei anderen Verteilungen zu verfahren ist. Vielleicht schaust Du doch besser mal in Dein Skript.

---

Ich verorte die Aufgabe bei einem Gymnasium. Da gibt es ja eher noch keine Skripte. Aber im Lehrmittel nachzuschauen wäre nicht verkehrt.

Ich kann die Klammern lösen und dann steht da XY * X².

Eher XY - X²

---

Doch ich habe ein Skript weil ich nicht am Gymnasium bin sondern an der Uni und Medizin studiere

---

Sehr schön. Dann wirst Du nachvollziehen können, dass

X(Y - X) = XY - X²

und dass

X(Y - X) ≠ XY * X² = X³Y

Answer 1

\(\displaystyle \int \limits_{0}^{1} x^{2} \; d x=\frac{1}{3} \)

Comments

wieso muss ich denn hier integrieren? Also habe auch so etwas im Internet gefunden, und das macht ja auch sinn aber wieso? Andere Erwartungswerte rechne ich ja auch ohne Integralrechnung aus.

---

Also habe auch so etwas im Internet gefunden

Du sollst in einem Lehrmittel suchen, nicht "im Internet"... Lehrmittel haben einen Verlag, der die mit der Qualität verbundenen Finanz- und Reputationsrisiken beurteilt, bevor er etwas herausbringt. Im Internet kann sich jeder Knülch einbringen.

und das macht ja auch sinn aber wieso?

Das finde ich jetzt interessant. Wie kann man meinen, etwas mache Sinn, wenn man nicht weiß, wieso?

Andere Erwartungswerte rechne ich ja auch ohne Integralrechnung aus.

Sind das dann diskrete Verteilungen? Hier stetig.

---

wow schonmal daran gedacht dass ich im Internet gesucht habe weil ich nichts im Skript gefunden habe?

Und wieso es sinn macht? Weil das bestimmte Integral (0-1) von x^2 = 1/3 ergibt und den lösungswert habe ich gegeben gehabt. Deswegen macht es Sinn.

Ich wollte nur eine Erklärung haben und nicht so unnötige und dumme Kommentare/antworten.

Answer 2

Das erste folgt aus der Unabhängigkeit von X und Y. Dann kann man einfach das Produkt der Erwartungswerte berechnen.

\( E[X^2] = \int \limits_0^1 \! x^2 \cdot 1 \, \mathrm{d}x \) ergibt sich aus der Definition des Erwartungswertes für stetige Zufallsvariablen. Das steht ganz sicher in deinem Skript!