Question

Ermitteln Sie y' durch Logarithmieren und anschließendes Ableiten:

$$y=\sqrt[x]{x}$$

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Ermitteln Sie y' durch Logarithmieren

Tu es doch einfach!

\( ln(y)=\frac{1}{x} ln(x)\) hättest du nicht hinbekommen?

Jetzt implizites Differenzieren...

Answer 1

\( ln(y)=\frac{1}{x} ln(x)\)

==>  \( y=e^{\frac{1}{x} ln(x)}\)

==>  \( y'=e^{\frac{1}{x} ln(x)}\) mal Ableitung von \( \frac{1}{x} ln(x)\)

==>  \( y'=e^{\frac{1}{x} ln(x)} \cdot (\frac{-1}{x^2}\cdot ln(x) +  \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}\) 

==>  \( y'=e^{\frac{1}{x} ln(x)} \cdot \frac{-ln(x)+1}{x^2}=\sqrt[x]{x} \cdot \frac{-ln(x)+1}{x^2} \)

Comments

Immer

y=...

y=...

Fehlen da nicht ein paar Ableitungsstriche?

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Danke, sind ergänzt.

Answer 2

Direkter Weg:

x-te Wurzel aus x = x^(1/x) = e^(1/x*lnx)

f(x) = e^(g(x)) -> f '(x) = e^(g(x))*g*(x)

Exponenten ableiten, Produktregel:

u= 1/x, u' = -1/x^2

v= lnx, v' = 1/x

-> -1/x^2*lnx + x*1/x = -lnx/x^2 +1

f '(x)= e^(1/x*lnx)*( -lnx/x^2+1) = x^(1/x)* (-lnx/x^2+1) 

https://www.ableitungsrechner.net/

Es ist gehüpft wie gesprungen.

Comments

Es ist gehüpft wie gesprungen.

Wenn die Aufgabe etwas vorgibt, dann ist es das gerade nicht.

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Was kein Grund ist, es dennoch zu erwähnen. Ab Zeile 2 läuft beides parallel.

Ich würde hier nie auf die Idee kommen, logarithmisch abzuleiten, auch weil es komisch ist: von y zu lny und wieder zu y zurück.

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Wieso? Es ist \( (\ln(y))'= \frac{1}{y} \). Ist dann zum Schluss nur noch die Bildung des Kehrwertes.