Ortskurve richtig oder nicht?

Question

Aufgabe:

Stimmt meine Ortskurve?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}f_{a}(x)=\frac{x}{a} \cdot e^{a x}=\frac{1}{a} x \cdot e^{a x} \\ f_{a}^{\prime}(x)=e^{a x} \cdot\left(\frac{1}{a}+x\right) \quad T\left(-\frac{1}{a}\left(0,37 \cdot\left(-\frac{1}{a^{2}}\right)\right)\right. \\ y=0,37 \cdot\left(-\frac{1}{a^{2}}\right) \quad x=-\frac{1}{a} \\ y=0,37 \cdot\left(-\frac{1}{\left.-\frac{1}{a}\right)^{2}}\right) \\ y=0,37 \cdot\left(-\frac{1}{\frac{1}{a^{2}}}\right)=0,37 \cdot\left(-a^{2}\right)=-0,37 a^{2}\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Comments

Du hast am Ende x durch einen Term mit a ersetzt. Du musst es aber genau umgekehrt machen. Und warum ersetzt du einen klaren genauen Wert 1/e durch diesen unsäglichen Näherungswert 0,37?

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https://www.schullv.de/mathe/basiswissen/analysis/kurvendiskussion/ortskurven

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Ähm mir war so, dass man den x- Wert durch den y-Wert ersetzt. Wie würde man denn genau korrekterweise vorgehen

Answer 1

Du hast nicht geschrieben, dass es um die Ortskurve der Extrema geht. Deine Ableitung ist richtig. Diese ist Null für a=-\( \frac{1}{x} \). Wenn man a in der Funktionenschar durch -\( \frac{1}{x} \) ersetzt, erhält man nach etwas Umformung g(x)= - \( \frac{x^2}{e} \) als Funktionsgleichung der Ortskurve der Extrema.

Answer 2

\(f_a(x)= \frac{1}{a}\cdot x \cdot e^{a \cdot x}\)

\(f'_a(x)= \frac{1}{a} \cdot e^{a \cdot x}+\frac{1}{a}\cdot x \cdot e^{a \cdot x}\cdot a= \frac{1}{a} \cdot e^{a \cdot x}+ x \cdot e^{a \cdot x}\)

\( \frac{1}{a} \cdot e^{a \cdot x}+ x \cdot e^{a \cdot x}=0\)    \(e^{a \cdot x}≠0\)

\( x=-\frac{1}{a}\)       \(f_a(-\frac{1}{a})= \frac{1}{a}\cdot (-\frac{1}{a})\cdot e^{a \cdot (-\frac{1}{a})}=-\frac{1}{a^2} \cdot e^{-1}\)

\( x=-\frac{1}{a}\)  nach a auflösen : \( a=-\frac{1}{x}\)  und in  \(f_a(-\frac{1}{a})=-\frac{1}{a^2} \cdot e^{-1}\) einsetzen:

Ortskurve:

\(o(x)=-\frac{1}{(-\frac{1}{x})^2} \cdot e^{-1}=-x^2  \cdot e^{-1}\)

Answer 3

Für die Ortskurve möchtest du am Ende einen Ausdruck \( y= \ldots \), der (meistens) von \( x \) abhängt. Bei der Berechnung von Extrem- oder Wendepunkten bekommst du in der Regel bei beiden Koordinaten eine Abhängigkeit des Parameters, sagen wir zum Beispiel \( H(2a | a^2) \). Diese Koordinaten können wir als Gleichung aufschreiben, denn es gilt \( x=2a \) und \( y=a^2 \). Wenn wir uns nun \( y \) anschauen, sehen wir, dass die Abhängigkeit von \( x \) fehlt, weil es dort nicht vorkommt. Wir können aber mithilfe der \(x \)-Koordinate das \( a \) durch \( x \) darstellen. Einfaches umstellen liefert nämlich \( a = \frac{x}{2} \). Das können wir nun anstelle von \( a \) einsetzen. Damit erhält man in diesem Fall die Ortskurve \( y=\left( \frac{x}{2} \right)^2 \).

Dieses Vorgehen funktioniert immer. Tipp: Manchmal muss man nicht nach \( a \) auflösen. Betrachte zum Beispiel \( H(a^2 | a^2) \). Dann gilt \( y=a^2 \) und \( x=a^2 \). Dann kann man das \( a^2 \) aber direkt durch \( x \) ersetzen und man erhält die Ortskurve \( y=x \).