Funktionsscharen untersuchen und Wendestellen, Ortskurve

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar fa mit f(x) = -x³+ ax²-x-ax

a) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.

b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktion für alle Werte von a einen Wendepunkt haben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und die zugehörige Ortskurve.

Problem/Ansatz:

Könnt ihr bitte auf das Bild schauen, da habe ich schon mit a angefangen, ich weiß aber leider nicht mehr weiter

Und bei b also Wendestellen berechnet man ja mit als erstes die notwendige Bedingung mit fa"(X)=0, also mich verwirrt dieses a, wie gehe ich damit um und wie berechne ich dann X?

Danach kommt ja die hinreichende Bedingungen mit fa"(X)=0 und fa'''(X)≠0

Hier ist das gleiche Problem wie bei der notwendigen Bedingungen, ich weiß einfach nicht was ich mit den a machen muss und so

Und ich weiß gar nicht wie man eine Ortskurve berechnet, könnte mir das jemand bitte erklären

Also ich weiß das ich die X und y Koordinate herausfinden muss, und dann nach X auflösen muss, aber ich weiß nicht ganz wie ich das machen muss und bin ich dann fertig mit Ortskurven Bestimmung oder kommt dann noch was?

Text erkannt:

a.)
$\begin{array}{l} f_{a}(x)=-x^{3}+a x^{2}-x-a x \\ f_{a_{1}} x=f_{a_{2}}(x) \quad\left(a_{1} \neq a_{2}\right) \\ \end{array}$
$\begin{array}{ll} -x^{5}+a_{1} x^{2}-x-a_{1} x=-x^{3}+a_{1} x^{2}-x-a_{2} x & \left(+x^{3}+x\right. \\ a_{1} x^{2}-a_{1} x=a_{2} x^{2}-a_{2} x & 1-a_{2} x^{2}+a_{2} x \\ a_{1} x^{2}-a_{2} x^{2}-a_{1} x+a_{2} x & 1:(x) \\ x \cdot\left(a_{1} x-a_{2} x-a_{1}+a_{2}\right) & \\ d & \\ x_{1}=0 & \end{array}$
$a_{1} x-a_{2} x-a_{1}+a_{2}=$

Answer 1

a) Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.

$f_a(x) = -x^3+ ax^2-x-ax$

$f_b(x) = -x^3+ bx^2-x-bx$  mit $a≠b$

$-x^3+ ax^2-x-ax= -x^3+ bx^2-x-bx$

$ax^2-ax=bx^2-bx$

$ax^2-bx^2-ax+bx=0$

$x^2*(a-b)-x(a-b)=0|:(a-b)$

$x^2-x=0$

$x*(x-1)=0$

Satz vom Nullprodukt:

$x_1=0$       $f_a(0) = 0$    $f_b(0) =0$

$x_2=1$       $f_a(1) =-2$    $f_b(1) =-2$

b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Graphen der Funktion für alle Werte von a einen Wendepunkt haben.

$f_a(x) = -x^3+ ax^2-x-ax$

$f´(x) = -3x^2+ 2*ax-1-a$

$f´´(x) = -6x+ 2*a$

$-6x+ 2*a=0$

 $x=\frac{1}{3}a$    $f_a(\frac{1}{3}a) = -(\frac{1}{3}a)^3+ a*(\frac{1}{3}a)^2-(\frac{1}{3}a)-a(\frac{1}{3}a)\\=\frac{2}{27}a^3-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}a^2$

$W(\frac{1}{3}a|\frac{2}{27}a^3-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}a^2)$

c) Bestimmung der Ortskurve:

$x=\frac{1}{3}a$   Nach a auflösen:  $a=3x$   Diesen Wert nun in $f_a(x) = -x^3+ ax^2-x-ax$ einsetzen:

$o(x)=-x^3+3x*x^2-x-3x*x=2x^3-x-3x^2$

Answer 2

a) -x³+ ax²-x-ax=-x³+ bx²-x-bx

Nach Potenzen von x zusammenfasst und nach x auflösen

x₁=1 x₂=0.

b) Zweite Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen, Lösung in f(x) einsetzen und f(x) errechnen (x|f(x)) ist die Schar der Wendepunkte.

Für die Ortskurve nicht nach x sondern nach a auflösen und für a in f_a(x) einsetzen.

Comments

Hallo Roland, vielen Dank

Bei a kannst du mir vielleicht sagen wie du an das Ergebnis dran gekommen bist, denn wie du ja siehst in meinem Bild kam ich nicht mehr weiter und wüsste gerne wie ich zum Ergebnis komme und bei b danke für die Hilfe, aber ich weiß jetzt immernoch nicht wie ich mit dem a umgehen soll

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Die a) kannst du einfacher machen.

Wenn sich ALLE Grafen in einigen Punkten schneiden, dann müssen auch zwei beliebig ausgewählte Grafen diese Schnittpunkte haben.

Berechne einfach die Schnittpunkte der beiden Grafen mit (z.B.) a=0 und a=1, also

f(x)=-x³+0x²-x-0x und f(x)=-x³+ 1x²-x-1x.

Teste dann durch Einsetzen in die allgemeine Gleichung, ob die gefundenen Punkte auch für beliebige a passen.