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Gesucht sind die Maxima der Funktion \(f\) unter einer konstanten Randbedingung \(g\):$$f(x;y)=x+y\to\text{Max}\quad;\quad g(x;y)=x^2+2y^2=1$$
Wenn keine konstante Randbedingung gegeben wäre, würdest du einfach den Gradienten der Funktion \(f\) gleich Null setzen, um die kritischen Punkte zu finden. Wenn konstante Nebenbedingungen vorhanden sind, muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Hier haben wir nur eine Nebenbedingung, daher lautet die Forderung:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\quad;\quad\implies\quad\binom{1}{1}=\lambda\binom{2x}{4y}$$
Der sogenannte "Lagrange Multiplikator" \(\lambda\) darf natürlich nicht Null sein, weil wir dann die Nebenbedingung gar nicht berücksichtigt hätten. Damit ist klar, dass auch \(x,y\ne0\) sein müssen. Wir können daher die beiden Koordinatengleichungen dividieren:$$\frac11=\frac{\lambda\cdot 2x}{\lambda\cdot 4y}=\frac{x}{2y}\implies\pink{x=2y}$$
Diese Forderung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$1=\pink x^2+2y^2=(\pink{2y})^2+2y^2=6y^2\implies y=\pm\frac{1}{\sqrt6}$$und erhalten so zwei mögliche Kandidaten für Extrema:$$K_1\left(\frac{2}{\sqrt6}\;\bigg|\;\frac{1}{\sqrt6}\right)\quad;\quad K_2\left(-\frac{2}{\sqrt6}\;\bigg|\;-\frac{1}{\sqrt6}\right)$$
Die maximale Koordinatensumme liefert offensichtlich \(K_1\).
