Maximaler Abstand eines Punktes zum Koordinatenursprung mit einer Ellipsengleichung

Question

Aufgabe:

Unter allen (x, y)-Wertepaaren, die die Ellipsengleichung
x² + 2y² = 1
erfüllen, wird das Paar mit maximaler Koordinatensumme gesucht, d.h.
x + y = max

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Gemeinde,

in Meiner Aufgabensammlung kommen immer wieder so aufgaben mit minimaler oder maximaler Koordinatensumm.

Um ehrlich zu sein weiß ich nicht wirklich, was ich machen soll, um zum gewünschten Ergebnis zu kommen.

Eine Idee wäre über den Betrag zu gehen, da dieser ja den Abstand einer Koordinate zum Koordinatenursprung angibt. Um das minimum oder maximum zu erhalten diesen dann Abzuleiten und den/die Extrempunkt(e) zu bestimmen. Aber wie würde ich das dann genau machen, wenn es der richtiege Weg ist?

Mache ich dann eine Fallunterscheidung, für den Fall das x und y kleiner oder größer gleich null sind und forme die Gleichung nach y um?

Vieleicht kann mir da einer helfen.

Ich danke schonmal im Voraus für die Hilfe.

Viele Grüße

Valke

Comments

Es gibt verschiedene Möglichkeiten:

- Auflösen der Ellipsengleichung nach x (oder y), einsetzen in die Summe. Hier sind noch Fallunterscheidungen zu machen

- Methode mit Lagrange-Faktoren

Was könnte zu Deinem Unterricht passen?

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Übrigens: Seine Überschrift ist falsch. In der Aufgabe geht es nirgendwo um einen Abstand.

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Es lohnt immer, sich ein Bild der Funktion zu machen. Anbei die Funktion $f(x,y)=x+y=z$ unter Berücksichtigung der Nebenbedingung $x^2+2y^2=1$ (die blaue Kurve)

(klick auf das Bild)

Die orangen Kugeln markieren Maximum und Minimum.

Answer 1

Zielfunktion: (Hauptbedingung)

$f(x,y)=x+y$ soll maximal werden.

Nebenbedingung:

$x^2+y^2=1$  → $y^2=1-x^2$ → $y=±\sqrt{1-x^2}$

1.)

$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$

$f'(x)=1+\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$1-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=0$

$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=1$

$x=\sqrt{1-x^2} |^{2}$

$x^2=1-x^2$

$2x^2=1$

$x_1=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$    $y(\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2})=±\sqrt{1-\frac{1}{2}}=±\sqrt{\frac{1}{2}}=±\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$

$x_2=-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}$→$y(-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2})=...$

Betrachte dann noch den Fall  2.)  $f(x)=x-\sqrt{1-x^2}$

Achtung: Ich habe aus Versehen einen Kreis statt einer Ellipse als Nebenbedingung genommen!

Comments

Hauptbedingung:$x^2+y^2=1$

Die Hauptbedingung ist $$f(x,y)=x+y\to \max$$Die Nebenbedingung ist „die Punkte liegen auf der Ellipse“.

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Danke dir für den Hinweis. Ich habe es oben verbessert.

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Vielen Dank für die detaillierte Antwort!

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Gesucht sind die Maxima der Funktion $f$ unter einer konstanten Randbedingung $g$:$$f(x;y)=x+y\to\text{Max}\quad;\quad g(x;y)=x^2+2y^2=1$$

Wenn keine konstante Randbedingung gegeben wäre, würdest du einfach den Gradienten der Funktion $f$ gleich Null setzen, um die kritischen Punkte zu finden. Wenn konstante Nebenbedingungen vorhanden sind, muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Hier haben wir nur eine Nebenbedingung, daher lautet die Forderung:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\quad;\quad\implies\quad\binom{1}{1}=\lambda\binom{2x}{4y}$$

Der sogenannte "Lagrange Multiplikator" $\lambda$ darf natürlich nicht Null sein, weil wir dann die Nebenbedingung gar nicht berücksichtigt hätten. Damit ist klar, dass auch $x,y\ne0$ sein müssen. Wir können daher die beiden Koordinatengleichungen dividieren:$$\frac11=\frac{\lambda\cdot 2x}{\lambda\cdot 4y}=\frac{x}{2y}\implies\pink{x=2y}$$

Diese Forderung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$1=\pink x^2+2y^2=(\pink{2y})^2+2y^2=6y^2\implies y=\pm\frac{1}{\sqrt6}$$und erhalten so zwei mögliche Kandidaten für Extrema:$$K_1\left(\frac{2}{\sqrt6}\;\bigg|\;\frac{1}{\sqrt6}\right)\quad;\quad K_2\left(-\frac{2}{\sqrt6}\;\bigg|\;-\frac{1}{\sqrt6}\right)$$

Die maximale Koordinatensumme liefert offensichtlich $K_1$.

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Vielen Dank für diese Lösungsweise!