Aloha :)
Die Formel für die Mantelfläche \(M\) bei Rotation einer Funktion \(f(x)\) und die x-Achse lautet:$$M=\int\limits_{x_1}^{x_2}2\pi \cdot f(x)\cdot\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$$
Hier soll die Parabel \(y^2=4x\) im Intervall \([0;12]\) um die x-Achse rotieren. Daher setzen wir:$$f(x)\coloneqq\sqrt{4x}=2\sqrt x\quad;\quad f'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt x}\quad;\quad x\in[0;12]$$in die Formel von oben ein:$$M=\int\limits_0^{12}2\pi\cdot2\sqrt x\cdot\sqrt{1+\left(\frac{1}{\sqrt x}\right)^2}\,dx=4\pi\int\limits_{0}^{12}\sqrt x\cdot\sqrt{1+\frac1x}\,dx=4\pi\int\limits_0^{12}\sqrt{x+1}\,dx$$
Substituiere nun:$$u\coloneqq x+1\quad;\quad\frac{du}{dx}=1\;\text{ bzw. }\;dx=du\quad;\quad u(0)=1\;;\;u(12)=13$$und erhalte eine einfaches Integral:$$M=4\pi\int\limits_1^{13}\sqrt u\,du=4\pi\int\limits_{1}^{13} u^{\frac12}\,du=4\pi\left[\frac23u^{\frac32}\right]_1^{13}=\frac{8\pi}{3}\left(13\sqrt{13}-1\right)\approx384,30$$
