Aufgabe: Gegeben ist diese lineare Abbildung (Das sie limear ist, wurd schon bewiesen)
Text erkannt:
\( \pi_{U}:\left\{\begin{array}{rcc}\mathbb{R}^{n} & \rightarrow & \mathbb{R}^{n} \\ \vec{x} & \mapsto & \sum \limits_{i=1}^{m}\left\langle\vec{u}_{i}, \vec{x}\right\rangle \vec{u}_{i}\end{array}\right. \)
Dann sei U noch ein linearer Unterraum mit Dimension m (endlichdimensional) mit einer Orthonormalbasis u1,…,u_m.
Zu zeigen war, das im(π_U) = U ist.
Meine Idee: (Es ist noch kein Beweis!)
Also ich hatte die Idee, das wenn u ein beliebiges Element von U ist, hat es ja aufgrund der Orthonormalbasis u1,…,u_m eine Darstellung als Linearkombination, da ja u1,…,u_m wegen der Basiseigenschaft erzeugend und linear unabhängig sind und damit U = span(u1,…,u_m) gilt. Also z.B. u = a1*u1 + … + a_m*u_m, wobei a1,..,a_m die darstellenden reelen Skalare sind. Nun ja wenn u auch ein Element von dem Bild sein soll, dann muss es ja ein Urbild x aus R^n geben, sodass π_U(x) = u ist, da es ja sonst nicht im Bild liegen dürfte. D.h. dann gilt auch
u = π(x) = <u1,x>*u1 + … + <u_m,x>*u_m, wobei die eindeutig darstellenden Skalarprodukte hier die reelen Skalare sind. Hiermit würde ja u auch in U liegen, da U ja gerade die Menge aller Linearkombinationen der Basisvektoren u1,…,u_m ist und auch umgekehrt.
Ist die Idee richtig und könnte man es so in der Art als Beweis formulieren?