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Gegeben ist ak = $$ \frac{k}{3^k} - \frac{k+1}{3^{k+1}} $$


Welchen Reihenwert besitzt $$ \sum_{k=1}^{\infty} ak $$


Ich weiß nicht, wie ich hier vorgehen soll. Ich habe zwar bestimmte Regeln, die ich bei Folgen anwenden kann, allerdings kann ich diese hier leider nicht anwenden.

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Schreibe Dir mal die ersten 5 Summanden auf, so wie sie definiert sind, ohne irgendetwas auszurechnen. Was fällt Dir auf?

Eine Zahl wird durch fast die gleiche Zahl (die etw. größer ist) subtrahiert

Ich meinte

$$\frac{1}{3^1}-\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^2}-\frac{3}{3^3}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}\ldots$$

Das hätte Dich auf die Idee bringen können, dass alle Terme bis auf den ersten "wegfallen". Den mathematischen Beweis hat T geführt.

Ach so, ja stimmt.

Jetzt verstehe ich, was du gemeint hast. Ja, so wäre das auch ne Möglichkeit

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Aloha :)

Betrachte zuerst die endliche Summe:$$S(n)=\sum\limits_{k=1}^na_k=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k}{3^k}-\frac{k+1}{3^{k+1}}\right)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{3^k}-\sum\limits_{k=1}^n\frac{k+1}{3^{k+1}}$$$$\phantom{S(n)}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{3^k}-\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{n\pink{+1}}\frac{(k\pink{-1})+1}{3^{(k\pink{-1})+1}}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{3^k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{k}{3^k}$$$$\phantom{S(n)}=\left(\frac{1}{3^{\pink1}}+\sum\limits_{k=\pink2}^n\frac{k}{3^k}\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{\pink n}\frac{k}{3^k}+\frac{\pink{n+1}}{3^{\pink{n+1}}}\right)=\frac13-\frac{n+1}{3^{n+1}}$$

Damit kannst du nun die unendliche Summe bestimmen:$$\sum\limits_{k=1}^\infty a_k=\lim\limits_{n\to\infty}S(n)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac13-\frac{n+1}{3^{n+1}}\right)=\frac13$$

Avatar von 152 k 🚀

Wie komme ich auf den Summenwert von 2k/3^k ?

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HN bilden = 3^(k+1)= 3*3^k

(3k-k-1)/ (3*3^n) = 1/3* (2k-1/3^k) = 1/3*(2k/(3^k) - 1/3^k)

1/3 kannst du vor die Summe ziehen.

1/3^k hat dem Summenwert: (1/3)/(1-1/3)= 1/2

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Konvergenter_Fall

Avatar von 39 k

Also 1/2?

In der Lösung steht aber 1/3

1/2 ist nur Teil der Lösung.

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