Welchen Reihenwert besitzt Σ_{k=1}^{∞} ak?

Question

Gegeben ist a_k = $$ \frac{k}{3^k} - \frac{k+1}{3^{k+1}} $$

Welchen Reihenwert besitzt $$ \sum_{k=1}^{\infty} ak $$

Ich weiß nicht, wie ich hier vorgehen soll. Ich habe zwar bestimmte Regeln, die ich bei Folgen anwenden kann, allerdings kann ich diese hier leider nicht anwenden.

Comments

Schreibe Dir mal die ersten 5 Summanden auf, so wie sie definiert sind, ohne irgendetwas auszurechnen. Was fällt Dir auf?

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Eine Zahl wird durch fast die gleiche Zahl (die etw. größer ist) subtrahiert

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Ich meinte

$$\frac{1}{3^1}-\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^2}-\frac{3}{3^3}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}\ldots$$

Das hätte Dich auf die Idee bringen können, dass alle Terme bis auf den ersten "wegfallen". Den mathematischen Beweis hat T geführt.

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Ach so, ja stimmt.

Jetzt verstehe ich, was du gemeint hast. Ja, so wäre das auch ne Möglichkeit

Answer 1

Aloha :)

Betrachte zuerst die endliche Summe:$$S(n)=\sum\limits_{k=1}^na_k=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k}{3^k}-\frac{k+1}{3^{k+1}}\right)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{3^k}-\sum\limits_{k=1}^n\frac{k+1}{3^{k+1}}$$$$\phantom{S(n)}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{3^k}-\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{n\pink{+1}}\frac{(k\pink{-1})+1}{3^{(k\pink{-1})+1}}=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{3^k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{k}{3^k}$$$$\phantom{S(n)}=\left(\frac{1}{3^{\pink1}}+\sum\limits_{k=\pink2}^n\frac{k}{3^k}\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{\pink n}\frac{k}{3^k}+\frac{\pink{n+1}}{3^{\pink{n+1}}}\right)=\frac13-\frac{n+1}{3^{n+1}}$$

Damit kannst du nun die unendliche Summe bestimmen:$$\sum\limits_{k=1}^\infty a_k=\lim\limits_{n\to\infty}S(n)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac13-\frac{n+1}{3^{n+1}}\right)=\frac13$$

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Wie komme ich auf den Summenwert von 2k/3^k ?

Answer 2

HN bilden = 3^(k+1)= 3*3^k

(3k-k-1)/ (3*3^n) = 1/3* (2k-1/3^k) = 1/3*(2k/(3^k) - 1/3^k)

1/3 kannst du vor die Summe ziehen.

1/3^k hat dem Summenwert: (1/3)/(1-1/3)= 1/2

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Konvergenter_Fall

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Also 1/2?

In der Lösung steht aber 1/3

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1/2 ist nur Teil der Lösung.