Aloha :)
zu a) Wir rechnen eventuell vorhandene lineare Abhängigkeiten der Vektoren \(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\) untereinander mittels elementarer Spaltenoperationen heraus.$$\begin{array}{rrr} & -6S_1 & -5S_1\\\hline1 & 6 & 5\\2 & 2 & 5\\1 & 4 & 4\end{array}\to\begin{array}{rrr} & -2S_3 & \cdot(-1)\\\hline1 & 0 & 0\\2 & -10 & -5\\1 & -2 & -1\end{array}\to\begin{array}{rrr} \vec b_1 & & \vec b_2\\\hline1 & 0 & 0\\2 & 0 & 5\\1 & 0 & 1\end{array}$$
Die lineare Hülle der drei Vektoren kann also durch eine 2-dimensionale Basis ausgedrückt werden. Die Dimension der linearen Hülle ist also gleich \(2\).
zu b) Die Lineare Hülle stellt eine Ebene dar. Mögliche Darstellungen sind:$$E\colon\vec x=s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}6\\2\\4\end{pmatrix}\quad;\quad E\colon\vec x=\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}$$
zu c) Hier wählen wir am einfachsten die Basisvektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) für die Prüfung, ob die beiden Vektoren in der Linearen Hülle liegen.
$$\begin{pmatrix}10\\0\\8\end{pmatrix}\stackrel?=\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}\implies\text{keine Lösung}$$Wegen der 1-ten Koordinate muss \(\lambda=10\) gelten. Dann muss wegen der 2-ten Koordinte \(\mu=-5\) gelten. Dann ergibt die 3-te Koordinate aber \(5\) und nicht \(8\). Der Vektor liegt also nicht in der linearen Hülle.
$$\begin{pmatrix}2\\-11\\-1\end{pmatrix}\stackrel?=\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}\implies \lambda=2\;\land\;\mu=-3$$Wegen der 1-ten Koordinate muss \(\lambda=2\) gelten. Dann muss wegen der 3-ten Koordinte \(\mu=-3\) gelten. Dann ergibt die 2-te Koordinate tatsächlich \((-11)\). Der Vektor liegt also in der linearen Hülle.
zu d) Drei linear unabhängige Vektoren im \(\mathbb R^3\) spannen ein 3-dimensionales Volumen \(\ne0\) auf, sie bilden also eine Basis des \(\mathbb R^3\).
