Determinante und integrale

Question

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Aufgabe 10. (5 Punkte) - Rechnungen und Definitionen -
(a) (3 Punkte) In der Vorlesung wurden Polarkoordinaten definiert durch
\( \begin{array}{c} g: \mathbb{R}_{>0} \times[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \\ g(r, \varphi)=(r \cdot \cos (\varphi), r \cdot \sin (\varphi)) . \end{array} \)

Begründen Sie, dass für die Determinante der Jacobi-Matrix \( J_{g} \) gilt:
\( \operatorname{det} J_{g}=r \text {. } \)
(b) (2 Punkte) Das Vektorfeld \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) sei definiert durch
\( f(x, y):=\left(\begin{array}{c} x^{2} \cdot y+\frac{y^{2}}{2}+1 \\ \frac{x^{3}}{3}+x \cdot y \end{array}\right) . \)

Wir betrachten den Weg
\( c:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, c(t)=\left(\begin{array}{c} c_{1}(t) \\ c_{2}(t) \end{array}\right):=\left(\begin{array}{c} t^{2}-1 \\ t \cdot\left(t^{2}-1\right) \end{array}\right) . \)

Zeigen Sie, dass für das Kurvenintegral von \( f \) längs der Kurve \( c \) für \( r=(x, y) \) gilt:
\( \int \limits_{c}\langle f(r), d r\rangle=0 . \)

Hinweis: Was sind Anfangs- und Endpunkt des Weges c?

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Comments

Bist Du fertig mit dem Posten der Hausaufgaben? Was hast Du schon gemacht? Aufgaben gesehen und direkt kapituliert?

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Oder ich sitze seit mehreren Tagen daran und verzweifle daran. Wen du keine Antwort hast move on keiner braucht deinen unnötigen Beitrag.

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Das war ja meine Frage. Welchen Grund hast Du denn uns Deine Versuche vorzuenthalten? Es ist nicht erkennbar, was Du schon gemacht hast. Das würde schnelle gezielte Hilfe ermöglichen.

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...Du sitzt seit mehreren Tagen daran, eine Determinante und ein Integral auszurechnen (das man siehe Tipp nicht einmal ausrechnen muss)? Dann wären deine Ansätze doch umso hilfreicher, da die vorgekaute Lösung dir nicht dabei hilft, deine Lücken zu schließen. Da kannst du noch so pampig drauf reagieren, es ist halt die Wahrheit.

Answer 1

a) Matrix der partiellen Ableitungen ist

\( J_g=\left(\begin{array}{c} \cos(\varphi)&  \sin(\varphi)\\ r\cdot   \sin(\varphi) & r\cdot \cos(\varphi) \end{array}\right)  \)

Also \( \det(J_g)= \cos(\varphi) \cdot r \cdot   \cos(\varphi) - \sin(\varphi) \cdot r \cdot (- \sin(\varphi) )  \)

\( = r(\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) ) = r \cdot 1 = r \)

b) Was sind Anfangs- und Endpunkt des Weges c?

Beides (0;0) , also geschlossener Weg. ==>  Wegintegral = 0.

Comments

geschlossener Weg. ==>  Wegintegral = 0

Das gilt nicht für jedes beliebige differenzierbare Vektorfeld! Die Wegunabhängigkeit ist hier noch mindestens mit einer Referenz ins Skript zu begründen.

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Die angegebene Jacobi Matrix ist falsch.