Binomialverteilungen -Wahrscheinlichkeit E1: Von 100 Autoreifen sind genau 5 fehlerhaft.

Question

Aufgabe:

Binomialverteilungen in Anwendungen
1. Bei der Produktion von Autoreifen entsteht an der Maschine M mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% fehlerhafte Ware.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse, indem Sie die Lücken füllen:
E1: Von 100 Autoreifen sind genau 5 fehlerhaft.
E2,: Höchstens 7 von 300 Autoreifen sind fehlerhaft.
E3: Von 250 Autoreifen sind genau 6 fehlerhaft.
E4: Mehr als 8 von 200 Autoreifen sind fehlerhaft.
E5. Mindestens 5 und weniger als 13 von 500 Autoreifen sind fehlerhaft.

b) Bestimmen Sie die Anzahl an Autoreifen, die höchstens geprüft werden dürfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % höchstens 2 fehlerhafte Autoreifen zu erhalten.

c) An der neuen Maschine M2 enthält eine Palette mit 80 Autoreifen mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 70% mindestens einen fehlerhaften Reifen. Überprüfen Sie, ob diese Maschine einen geringeren Anteil fehlerhafter Reifen produziert als Maschine M1


2. In Deutschland liegt der Anteil der Linkshänder schätzungsweise bei 12%.
a) Es werden in verschiedenen Gruppen Untersuchungen zur Linkshändigkeit durchgeführt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

E1: 2 von 17 Menschen sind Linkshänder.
E2: Mindestens 40 von 50 Menschen sind Rechtshänder.
E3: Weniger als 10 von 75 Menschen sind Linkshänder.
E4: Höchstens 18 und mehr als 10 von 100 Personen sind Linkshänder.

b) Ermitteln Sie die Mindestanzahl an Personen, die man untersuchen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens eine Person bei der Untersuchung ein Linkshänder ist.

c) In früheren Zeiten wurden Kinder, die eine Linkshändigkeit zeigten, in der Erziehung zur Nutzung der rechten Hand angeleitet, sodass in älteren Untersuchungen zur Linkshändigkeit ein deutlich geringerer Anteil von Linkshändern ermittelt wurde. Von einer älteren Untersuchung ist bekannt, dass in einer Gruppe von 20 Personen die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 Linkshänder zu finden, bei mindestens 15% lag. Berechnen Sie, wie groß der Anteil an Linkshändern in dieser Gruppe mindestens war.

Problem/Ansatz:Binomialverteilungen

-Ich bräuchte bitte Hilfe bei der Bearbeitung der Aufgaben und Dankeschön an jeden der sich die Mühe macht mir zu helfen!

Answer 1

1. Bei der Produktion von Autoreifen entsteht an der Maschine M mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% fehlerhafte Ware.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse, indem Sie die Lücken füllen:

E1: Von 100 Autoreifen sind genau 5 fehlerhaft.

P(X=5) =(100über5)*0,03^5*0,957^95

E2,: Höchstens 7 von 300 Autoreifen sind fehlerhaft.

P(X<=7) = P(X=0)+P(X=1)+....+P(X=7)

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

E3: Von 250 Autoreifen sind genau 6 fehlerhaft.

P(X=6)=  (250über6)*0,03^6*0,07^244

E4: Mehr als 8 von 200 Autoreifen sind fehlerhaft.

P(X>8) = 1-P(X<=7)

E5. Mindestens 5 und weniger als 13 von 500 Autoreifen sind fehlerhaft.

P(5<=X<13) = P(X<=12) -P(X<=4)

Tabellenwerk oder Link s.o. oder TR verwenden

b) Bestimmen Sie die Anzahl an Autoreifen, die höchstens geprüft werden dürfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % höchstens 2 fehlerhafte Autoreifen zu erhalten.

P(X<=2) >=0,6  = P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2) >=0,6

1- 0,97^n - n*0,03*0,97^(n-1) - (nüber2)*0,03^2*0,97^(n-2) >=6

mit Probieren mit dem Link erhalte ich:

n= 76

c) An der neuen Maschine M2 enthält eine Palette mit 80 Autoreifen mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 70% mindestens einen fehlerhaften Reifen. Überprüfen Sie, ob diese Maschine einen geringeren Anteil fehlerhafter Reifen produziert als Maschine M1

P(X>=1) <= 0,7

1- P(X=0) <=0,7

1- (1-p)^80 <=0,7

(1-p)^80 >= 0,3

1-p >=0,3^(1/80)

p <= 0,0149 = ca. 1,5%

M2 produziert weniger Ausschuss

2. In Deutschland liegt der Anteil der Linkshänder schätzungsweise bei 12%.
a) Es werden in verschiedenen Gruppen Untersuchungen zur Linkshändigkeit durchgeführt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

E1: 2 von 17 Menschen sind Linkshänder.

P(X=2) = (17über2)*0,12^2*0,88^15

E2: Mindestens 40 von 50 Menschen sind Rechtshänder.

P(X>=40) = P(X=40)+P(X=41)+.....+P(X=50)

E3: Weniger als 10 von 75 Menschen sind Linkshänder.

P(X<10) = P(X=0)+P(X=1)+....+P(X=10)

E4: Höchstens 18 und mehr als 10 von 100 Personen sind Linkshänder.

P(10<X<=18) = P(X<=18) - P(X<=9)

b) Ermitteln Sie die Mindestanzahl an Personen, die man untersuchen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens eine Person bei der Untersuchung ein Linkshänder ist.

P(X>=1) = 1-P(X=0) >=0,95

1- 0.88^n >= 0,95

0,88^n <= 0,05

n >= ln0,05/ln0,88

n= 24

c) In früheren Zeiten wurden Kinder, die eine Linkshändigkeit zeigten, in der Erziehung zur Nutzung der rechten Hand angeleitet, sodass in älteren Untersuchungen zur Linkshändigkeit ein deutlich geringerer Anteil von Linkshändern ermittelt wurde. Von einer älteren Untersuchung ist bekannt, dass in einer Gruppe von 20 Personen die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 Linkshänder zu finden, bei mindestens 15% lag. Berechnen Sie, wie groß der Anteil an Linkshändern in dieser Gruppe mindestens war.

P(X>=3) = 1-P(X<=2)  >= 0,15

1- (1-p)^20- 20*p*(1-p)^19 - (20über2)*p^2*(1-p)^18 >= 0.15

p >= 6,8%

https://www.wolframalpha.com/input?i=1-++%281-p%29%5E20-+20*p*%281-p%29%5E19+-190*p%5E2*%281-p%29%5E18+%3E%3D+0.15

Comments

Vielen Dank für die Hilfe, wissen Sie zu zufällig auch wie man nr. 2 berechnet?

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Soeben geschehen.

Answer 2

Wo ist das Problem? Überlege dir, was n, p und die Grenzen sind und berechne dann die Wahrscheinlichkeit mit dem GTR. Da gibt es die Befehle binompdf (oder ähnlich) für \( P(x=k) \) und binomcdf (oder ähnlich) für \( P(k \leq X \leq l) \), also für Bereiche. Wie die Befehle genau angewendet werden, wurde bestimmt im Unterricht behandelt. Ansonsten könnte in deinem Buch eine Kurzanleitung sein (Anhang) oder du schaust im Netz.

Comments

mit dem GTR

Es reicht ein TR ohne G :)

oder du schaust im Netz.

Hier ist das Netz :)

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Die älteren TR bekommen das nicht hin. Und im Abi heißen die Geräte nur noch GTR oder CAS

Answer 3

Binomialverteilung: Ein Experiment, das mit Wahrscheinlichkeit \(p\) das Ergebnis Erfolg liefert, wird \(n\) mal unabhängig voneinander durchgeführt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau \(k\) Erfolge gibt

         \({n\choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\).

1. Bei der Produktion von Autoreifen entsteht an der Maschine M mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% fehlerhafte Ware.
...
E1: Von 100 Autoreifen sind genau 5 fehlerhaft.

Experiment, das \(n\) mal durchgeführt wird: Ein Autreifen wird hergestellt. Damit ist \(n=100\).

Erfolg: Der hergestellte Autoreifen ist fehlerhaft. Damit ist \(p=0,03\)

E1: \(k=5\).

In die Formel einsetzen und ausrechnen.

E2,: Höchstens 7 von 300 Autoreifen sind fehlerhaft.

Berechne einzeln die Wahrscheinlichkeiten für

• Von 300 Autoreifen ist keiner fehlerhaft.
• Von 300 Autoreifen ist genau einer fehlerhaft.
• Von 300 Autoreifen sind genau 2 fehlerhaft.
• ...
• Von 300 Autoreifen sind genau 7 fehlerhaft.

Addiere die Wahrscheinlichkeiten.

E4: Mehr als 8 von 200 Autoreifen sind fehlerhaft.

Verwende das Gegenereignis um Tod durch Rechnung zu vermeiden.

b) Bestimmen Sie die Anzahl an Autoreifen, die höchstens geprüft werden dürfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % höchstens 2 fehlerhafte Autoreifen zu erhalten.

Mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle aufstellen und Ergebnis ablesen.

c) An der neuen Maschine M2 enthält eine Palette mit 80 Autoreifen mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 70% mindestens einen fehlerhaften Reifen. Überprüfen Sie, ob diese Maschine einen geringeren Anteil fehlerhafter Reifen produziert als Maschine M1

Mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle aufstellen und Ergebnis ablesen.