3. Bei der Produktion von Autoreifen entsteht an der Maschine \( M_{1} \) mit einer Wahrscheinlichkeit von \( 3 \% \) fehlerhafte Ware.
a) Berechnen Sie, wie viele fehlerhafte Autoreifen auf 10 Paletten mit je 100 Autoreifen zu erwarten sind.
b) Ein Reifenhändler bestellt 10 Paletten mit je 100 Autoreifen. Bestimmen Sie, mit wie vielen einwandfreien Reifen der Händler rechnen kann, indem Sie mithilfe der Näherungsformel das 90\%-Intervall bestimmen, d.h. das symmetrische Intervall um den Erwartungswert, in dem sich etwa \( 90 \% \) der Anzahl einwandfreier Reifen bei 10 Paletten befinden. \( \mathrm{n}=; \mathrm{p}=; \mathrm{P}(\mu-\quad \cdot \sigma \leq \mathrm{X} \leq \mu+\quad \cdot \sigma) 20 \% \quad \) Das \( 90 \% \)-Intervall lautet daher:
c) Bestimmen Sie mithilfe der Näherungsformeln die Zahl der Paletten, die ein anderer Reifenhändler mindestens bestellen muss, damit er mit einer. Wahrscheinlichkeit von etwa \( 95 \% \) mindestens 1200 einwandfreie Autoreifen erhält. \( p=\quad ; n=\quad \). Da \( P(\mu-1,64 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+1,64 \cdot \sigma) \approx \quad \% \) und die Binomialverteilung nahezu symmetrisch ist, gilt: \( P(X \geq \ldots \)... Da der Händler mindestens 1200 einwandfreie Autoreifen benötigt, muss
\( \mu-\quad \geq 1200 \) gelten \( \Rightarrow \quad-1,64 \cdot \sqrt{n \cdot p \cdot} \quad \geq 1200 \Rightarrow \quad 0,97-1,64 \cdot \sqrt{n \cdot 0,97 \cdot} \geq 1200 \).
Bei 12 bestellten Paletten ist \( n=\quad \Rightarrow 1200 . \quad-1,64 \cdot \sqrt{\cdot 0,97 \cdot 0,03} \approx 1154<1200 \).
Bei bestellten Paletten ist \( n=\Rightarrow \)
Der Händler muss 13 Paletten bestellen.
