Kann ich daraus auch folgern, dass =0 oder umgekehrt?

Question

Aufgabe:

Skalarprodukt Beweise.

Problem/Ansatz:

Ist diese Bedingung äquivalent. Angenommen ich weiß, dass <x, y>=0. Kann ich daraus auch folgern, dass <x+y, x-y>=0 oder umgekehrt?

Und wenn ich eine lineare Abbildung φ V nach W habe, und <x, y>=0= <x+y, x-y> gilt, und ich zusätzlich weiß, dass auch <φ(x+y), φ(x-y) >=0, kann ich dann irgendwie auch <φ(x), φ(y) >=0 folgern?

Comments

Du solltest einen Link auf Deinen anderen Post setzen, damit deutlich wird, worum es Dir geht.

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Wähle \(\vec x=\binom{2}{0}\) und \(\vec y=\binom{0}{1}\).

Für die beiden Vektoren gilt: \(\left<\vec x\big|\vec y\right>=\left<\binom{2}{0}\big|\binom{0}{1}\right>=2\cdot0+0\cdot1=0\).

Aber es ist: \(\left<\vec x+\vec y\big|\vec x-\vec y\right>=\left<\binom{2}{1}\big|\binom{2}{-1}\right>=2\cdot2+1\cdot(-1)=3\ne0\)

Answer 1

\(\langle x,y\rangle = 0\) gilt zum Beispiel wenn \(x=0, y\neq 0\) ist. Dann ist aber \(\langle x+y, x-y\rangle \neq 0\).

Umgekehrt funktioniert es auch nicht, wie du an \(x=y\neq 0\) sehen kannst.

Comments

Irgendwie nutzt die Lösung das aber.

Die ganze Aufgabe ist.

Zeigen Sie :

Wenn <x, y>=0 für alle x, y Element V , dann auch <φ(x), φ(y) >=0.

Als Bedingung darf ich folgende Aussage nutzen : wenn |x|=|y| für alle x, y, dann auch |φ(x) |=|φ(y) |, und das kann man umschreiben mit <x+y, x-y>=0 und <φ (x+y) , φ(x-y) >=0

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wenn |x|=|y| für alle x, y

Das ist nicht möglich, da von einer Norm \(|\cdot|\) gefordert wird, dass \(|x|=0\iff x=0\) ist.

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Es tut mir leid, meinte ||x||, also alles mit zwei Strichen.

Außerdem ist da noch ein doppelpunkt dazwischen, macht auch einen Unterschied.

Ist für mich wohl noch zu früh.

Für alle x, y gilt :Wenn <x, y>=0  , dann auch <φ(x), φ(y) >=0.

Als Bedingung darf ich folgende Aussage nutzen : für alle x, y gilt :wenn |x|=|y| , dann auch |φ(x) |=|φ(y) |, und das kann man umschreiben mit <x+y, x-y>=0 und <φ (x+y) , φ(x-y) >=0

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Für alle x, y gilt :Wenn <x, y>=0  , dann auch <φ(x), φ(y) >=0.

Das gilt zum Beispiel für \(\varphi: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) mit \(x\mapsto \left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)x\) nicht.

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Das ist aber wortwörtlich die Aufgabe.... Es soll halt die Äquivalenz zweier Aussagen gezeigt werden.

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Mache Dir den Unterschied zwischen der Gültigkeit einer Aussag und der Gültigkeit der Äquivalenz klar