Kann man die Näherung verwenden?

Question

Aussage: e^(r(t)*dt) kann angenähert werden durch 1+r(t)dt, weil dt beliebig klein wird.

Frage: Die Approximation liegt daran, dass der Exponent gegen null geht und e^0 bekanntlich 1 ist. 1+r(t)dt, geht gegen 1, wenn dt gegen 0 geht. Kann man deshalb die Näherung verwenden?

Comments

e^(r(t)*dt) ist keine Aussage sondern nur ein Term. Die Funktionen f(t)= e^r(t) und g(t) =1+r(t) sind in der Nähe ihres gemeinsamen Punktes (wenn er denn existiert) gegenseitige Näherungen.

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Da steht nirgends etwas davon, dass der Term eine Aussage ist. Bitte richtig lesen. Die Aussage lautet:

e^(r(t)*dt) kann angenähert werden durch 1+r(t)dt, weil dt beliebig klein wird.

Und DAS ist eine Aussage und kein Term. ;)

Answer 1

Es gilt \(e^x=1+x+\frac{x^2}2+...\) (Potenzreihe), daher gilt für kleine \(x\):

\(e^x\approx 1+x\). Die Begründung \(e^0=1\) reicht nicht, denn es könnte ja auch \(e^x\approx 1+\sqrt{x}\) o.ä. gelten.