Wie lautet der Beweis für die Ableitung der Funktion x^(1/n) = (1/n) * x^(1/n -1)

Question

Aufgabe:

Beweis für die Ableitung für Funktionen mit der Form x^(1/n)

Problem/Ansatz:

Mich würde interessieren wie man beweist dass die Ableitung der allgemeinen Funktion x^(1/n) für x > 0 auch             (1/n) * x^(1/n - 1) ist. Danke im voraus.

Comments

Schreibe den Differenzenquotienten auf , substituiere z = x^1/n , benutze a = 1/(1/a) ,
lim(1/a_n) = 1/lim(a_n) , Resubstitution und etwas Bruchrechnen.

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Vielleicht findest Du auch das Stichwort " Differentiation der Umkehrfunktion " in Deinem Lehrmaterial.

Answer 1

Wenn ihr schon die Potenzregel \((t^n)' = n t^{n-1}\) für natürliche \(n\) und die Kettenregel hattet, kannst du so vorgehen:

Für \(x>0\) gilt:

\(y=x^{\frac 1n} \Leftrightarrow \boxed{y^n = x\quad (1)}\)

Jetzt differenziert du die Gleichung (1) bzgl. \(x\) und stellst nach \(y'\) um:

\(ny^{n-1}y' = 1\)

\(\Leftrightarrow y' = \frac 1n\cdot \frac 1{y^{n-1}}=\frac 1n\cdot \frac y{y^{n}}= \frac 1n \frac{x^{\frac 1n}}{x}= \frac 1n x^{\frac 1n - 1}\)

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