Flächeninhalt mit Doppelintegral in Polarkoordinaten berechnen

Question

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[7] Bestimmen Sie mittels eines Doppelintegrals in Polarkoordinaten den Flächeninhalt des Kreisringsegments

Aufgabe: Flächeninhalt A, in Porlarkoodinaten angeben.

Problem/Ansatz: Doppelintegral ist mir bekannt, Integral von Y bekannt, Integral von X er schließt sich mir nicht.

Wäre sehr dankbar, wenn Jemand mir helfen könnte. LG

Answer 1

Aloha :)

Wir brauchen zunächst einen Ortsvektor \(\vec r\), der jeden Punkt der Fläche \(F\) abtastet. In Polarkoordinaten können wir diesen wie folgt formulieren:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[2;4]\quad;\quad\varphi\in\left[\frac\pi4\bigg|\frac\pi2\right]$$Beachte, dass der Polarwinkel entegen dem Uhrzeigersinn (mathematisch positiver Drehsinn) relativ zur x-Achse gemessen wird.

Durch den Übergang von kartesischen Koordinaten \((x;y)\) zu Polarkoordinaten \((r;\varphi)\) wird das Flächenelement verzerrt:$$dF=dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$

Damit können wir das Integral für die Fläche formulieren:$$F=\int\limits_{r=2}^4\;\;\int\limits_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=2}^4r\,dr\int\limits_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}d\varphi=\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=2}^4\left[\varphi\right]_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}=6\cdot\frac\pi4=\frac32\pi$$

Answer 2

Du integrierst über den Radius \(r\). Die Grenzen für den Winkel und den Radius sind dir hoffentlich klar. Das kann man alles der Zeichnung entnehmen.

Comments

Also ich ha e jetzt A= ∫ ∫ pi/4 genommen, wobei bei beiden Integralen oben 4 und unten 2 stehen.

Jedoch komme ich ständig auf eine falsche Antwort.

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Da haben wir ein Doppelintegral mit den zwei Variablen φ und r.

Grenzen für r:   von r=2 bis r=4

Grenzen für φ:   von φ = π/4  bis  φ = π/2

Flächenelement:

dA = r dr dφ

(Schade, dass es hier kein kleines φ gibt ...)

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(Schade, dass es hier kein kleines φ gibt ...)

Ist das φ kein kleines φ? Großes \(\varphi\) wäre doch \(\Phi\) - oder?$$\text{d}A=r\,\text{d}r\text{d}{\varphi}$$