Wurzel von 4i gleich 2i

Question

Aufgabe:

Wurzel von 4i

Problem/Ansatz:

Ergibt die Wurzel von 4i= 2i

Answer 1

\(\sqrt{4i}≠2i\)

\(\sqrt{4i}=2\cdot \sqrt{i}\)

Weiterführung:

Einschub:

\( \sqrt{i}=\sqrt{\frac{2i}{2}}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{1+2i-1}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{1+2i+i^2}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{(1+i)^2}=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•(1+i)\\=\frac{1}{2}•\sqrt{2}+\frac{i}{2}•\sqrt{2}\)

\(\sqrt{4i}=\sqrt{2}+i•\sqrt{2}\)

Answer 2

Teilwurzeln werden so gezogen:

√(ab) = √a * √b

-> √(4i) = 2*√i

√i =  i^(1/2) = [(-1)^(1/2]^(1/2) = (-1)^(1/4)

https://www.wolframalpha.com/input?i=i%5E0.5

Comments

Falsch abgeschrieben von wolframalpha.

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Das erinnert mich an die Szene mit Loriot, wo ein Kellner einen französischen Fschbegriff auf der Speisekarte durch einen französischen Fachbegriff "erklärt".

Answer 3

Ergibt die Wurzel von 4i= 2i     ?

Nein.

Erstens: In der Menge der komplexen Zahlen gibt es keine (eindeutige) Quadratwurzel-Funktion !

Zweitens:

Die Gleichung  z² = 4i  löst man am besten in der Polarform:

z = r · cis φ

z² = 4 i = 4 · cis \( \frac{π}{2} \)

|z|² = r² = 4      ⇒    |z| = r = \( \sqrt{4} \) = 2

φ = arg(z) = \( \frac{π/2}{2} \) + k · π   = \( \frac{π}{4} \)  + k · π      ( k = 0 oder k = 1)

Jetzt noch in kartesische Koordinaten zurück umwandeln.

Comments

Erstens: In der Menge der komplexen Zahlen gibt es keine (eindeutige) Quadratwurzel-Funktion !

Gut, dass das nochmal betont wird. Allzuviele Helfer gehen da salopp drüber hinweg.

Auch die vom reellen bekannten Rechenregeln für "Wurzeln" gelten nicht ohne weiteres.

Man kann die beiden Wurzeln von \(2i\) auch direkt mit dem Ansatz \((a+bi)^2=2i\) (ausmultiplizieren, Re/Im vergleichen) bestimmen.

Answer 4

Ergibt die Wurzel von 4i= 2i

Nein, denn (2i)² ist -4 und nicht 4i.