Matrixdarstellungen; Abbildung linear?

Question

Aufgabe 9*
(a) Begründen Sie warum die Abbildung \( h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit \( h\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-3 x_{2}, 2 x_{2}+4 x_{3}\right) \) linear ist und bestimmen Sie die zugehörige Matrix.
(b) Berechnen Sie \( h(1,1,1) \) auf zwei Arten: (1) durch Einsetzen in die Abbildungsvorschrift und (2) mithilfe von Matrixmultiplikation.
(c) Die Abbildung \( f \) ist durch \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(\mathbf{x})=2 \mathbf{x} \) gegeben. Begründen Sie warum \( f \) linear ist und geben Sie die zugehörige Matrix an.
(d) Existieren die Umkehrabbildungen der linearen Abbildungen \( h \) und \( f \) ? Begründen Sie! Falls die Umkehrabbildungen exisitieren, geben Sie ihre Matrixdarstellungen an!
(e) Überprüfen Sie, ob die verketteten Abbildungen \( f \circ h \) und \( h \circ f \) existieren. Falls sie definiert sind, geben Sie ihre Matrixdarstellungen an.

Answer 1

Und wo hast du Probleme?

Für die Linearität sind die Bedingungen

\(f(x+y)=f(x)+f(y) \) und

\(f(\lambda x)=\lambda f(x) \)

nachzuweisen. Das ist stupides Einsetzen und rechnen. Dazu gibt es bestimmt Beispiele in deinen Unterlagen.

Eine lineare Abbildung lässt sich immer in der Form \(f(x)=Ax\) mit einer Matrix \(A\) schreiben. Überlege dir, wie \(A\) aussehen muss, damit \(Ax=(x_1-3x_2,\ 2x_2+4x_3)^T\) herauskommt. Es ist eine \((2\times 3)\)-Matrix.

b) Da steht schon alles erklärt. Eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren bekommst du hin? Sonst schlag nach, wie das funktioniert.

c) ist wie a).

d) Umkehrabbildungen existieren, wenn die Matrix invertierbar ist. Die kann man dann berechnen.

e) Die Kompositionen bildet man durch Matrixmultiplikation, sofern möglich. Hier müssen die Dimensionen passen.

Wenn es Schwierigkeiten gibt, stelle bitte konkrete Fragen.