Sei π ∈ Sn eine Permutation Zeigen sie, dass die Abbildung linear ist. berechnen sie die Eigenwerte.

Question

Aufgabe:

Sei π ∈ S_n eine Permutation. Zeigen sie, dass die Abbildung:

f_π : ℝⁿ → ℝⁿ , f_π (x₁ , . . . , x_n ) = (x_π(1) , . . . , x_π(n))

linear ist und bestimmen Sie die Eigenwerte von f_π .

Ich weiß welche Kriterien für die Linearität zu prüfen sind, ich weiß aber nich wie genau ich es hier umsetzten soll.

Bei den Eigenwerten müsste ja bestimmt erstmal die Permutationsmatrix bestimmt werden, dazu habe ich folgendes gefunden:

Die zu der Permutation

  π = \( \begin{pmatrix} 1    2    3    4    5 \\ 4    2    1    5    3 \end{pmatrix} \) ∈ S₅

zugehörige Permutationsmatrix ist

  P_π = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

und die Eigenwerte wären dann λ₁ = 0, λ₂ = 1 und λ₃ = -1

Comments

\(0\) kann nicht als Eigenwert auftauchen, da sonst

\(P_{\pi}\) nicht invertierbar wäre.