Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Der Kern einer linearen Abbildung \(A\) besteht aus den Argumenten \(\vec x\), die auf die Null abgebildet werden. Wir suchen also alle Lösungen der Gleichung:$$A\cdot\vec x=\vec 0$$
zu a) Zur Berechnung wählen wir das Gauß-Verfahren. Unser Ziel bei den Umformungen ist es, so viele Spalten wie möglich zu generieren, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Umformung}\\\hline1 & 1 & 0 & 0 & \\0 & 1 & 1 & 0 &\\1 & 1 & 0 & 0 &-\text{Zeile 1}\\\hline\pink1 & 1 & 0 & 0 & \Rightarrow \pink{x_1}+x_2=0\\0 & 1 & \pink1 & 0 &\Rightarrow x_2+\pink{x_3}=0\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$
Wir konnten 2 Spalten mit lauter Nullen und genau einer Eins (pink) generieren. Wir stellen die zugehörigen Gleichungungen nach den pinken Variablen um:$$\pink{x_1}=-x_2\quad;\quad \pink{x_3}=-x_2$$und können damit alle Lösungen der obigen Gleichungen angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\x_2\\\pink{x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\-x_2\end{pmatrix}=x_2\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$$
Die Punkte aus dem Kern der Abbildung liegen also alle auf einer Geraden durch den Urpsrung mit dem Richtungsvektor \((-1;1;-1)^T\). Der Kern der Abbildung ist also 1-dimensional.
zu b) Wenn der Kern einer Abbildungsmatrix \(A\) nur den Nullvektor enthält, ist die Abbildung injektiv. Das heißt, jeder Vektor aus der Zielmenge der Abbildung wird höchstens 1-mal getroffen.
Das kannst du dir wie folgt überlegen. Angenommen, es gibt zwei Vektoren \(\vec x\) und \(\vec y\), die denselben Zielvektor treffen, dann muss ja gelten:$$A\cdot\vec x=A\cdot\vec y\implies A\cdot\vec x-A\cdot\vec y=\vec 0=A\cdot(\vec x-\vec y)=\vec 0$$Da der Kern der Abbildungsmatrix \(A\) aber nur den Nullvektor enthält, ist der Nullvektor der einzige Vektor, der auf den Nullvektor abgebildet wrid, also muss \((\vec x-\vec y)=\vec 0\) gelten, woraus dann \(\vec x=\vec y\) folgt. Es gibt also keine zwei verschiedenen Argumente mit demselben Ergebnis.
Wenn die Abbildungsmatrix \(A\) nicht nur injektiv, sondern auch quadratisch ist \((n\times n)\), wird jeder der n-dimensionalen Eingangsvektoren auf einen anderen n-dimensioaneln Zielvektor abgebildet. Die Abbildung ist daher auch surjekiv (d.h. jedes Element der Zielmenge wird mindestens 1-mal getroffen).
Zusammengefasst heißt das, eine quadartische Abbildungs-Matrix, deren Kern nur den Nullvektor enthält, ist bijektiv. Das heißt, jedes Element der Zielmenge wird genau 1-mal getroffen. Die Gleichung \(A\cdot \vec x=\vec b\) hat dann genau eine eindeutige Lösung.
