Bestimmen Sie den Kern der Matrix A und die Dimension des Kerns von A !

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Kern der Matrix A und die Dimension des Kerns von A!
110 A=0 1 1
110
Wie ist der Kern einer Matrix A definiert? Wenn gilt, dass Kern(A) = {⃗0}, was kann man dann
über die Lösung des Gleichungssystems A⃗x = ⃗b sagen?

Problem/Ansatz:

ich verstehe die aufgabe nicht

Text erkannt:

Aufgabe 12
Bestimmen Sie den Kern der Matrix \( A \) und die Dimension des Kerns von \( A \) !
\( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \)

Wie ist der Kern einer Matrix \( A \) definiert? Wenn gilt, dass \( \operatorname{Kern}(A)=\{\overrightarrow{0}\} \), was kann man dann über die Lösung des Gleichungssystems \( A \vec{x}=\vec{b} \) sagen?

Answer 1

Wie ist der Kern einer Matrix \( A \) definiert?

Was verstehst du an dieser Frage nicht? Wenn man Definitionen nicht kennt, schlägt man sowas in seinen Unterlagen nach. Besitzt du sowas? Dann los. Wenn du studierst, gehört sowas zu DEINEN Aufgaben.

Der Kern einer Matrix sind alle Vektoren, für die \(Av=0\) gilt. Die Dimension des Kerns kann man anhand der Anzahl der Nullzeilen bestimmen, wenn man die Matrix auf Zeilenstufenform bringt.

Wenn der Kern nur die 0 enthält, gibt es keine Nullzeilen. Dann hat die Matrix vollen Rang und ist invertierbar. Was bedeutet das für die Lösung eines LGS der Form \(Ax=b\)?

Zu solchen Berechnungen finden sich sicherlich auch Beispiele in deinen Unterlagen. Und wenn nicht, findet man im Internet genug Beispiele dazu. Auch das gehört zu DEINEN Aufgaben.

Wenn du nicht weiterkommst, stelle bitte konkrete Fragen. Dann kann man dir auch helfen. Ein "ich verstehe die Aufgabe nicht" bedeutet, dass du dich nicht einmal ansatzweise damit beschäftigt hast. Oder bist du der deutschen Sprache nicht mächtig und verstehst deswegen die Aufgabe nicht? Sie ist nämlich ziemlich deutlich formuliert.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der Kern einer linearen Abbildung \(A\) besteht aus den Argumenten \(\vec x\), die auf die Null abgebildet werden. Wir suchen also alle Lösungen der Gleichung:$$A\cdot\vec x=\vec 0$$

zu a) Zur Berechnung wählen wir das Gauß-Verfahren. Unser Ziel bei den Umformungen ist es, so viele Spalten wie möglich zu generieren, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Umformung}\\\hline1 & 1 & 0 & 0 & \\0 & 1 & 1 & 0 &\\1 & 1 & 0 & 0 &-\text{Zeile 1}\\\hline\pink1 & 1 & 0 & 0 & \Rightarrow \pink{x_1}+x_2=0\\0 & 1 & \pink1 & 0 &\Rightarrow x_2+\pink{x_3}=0\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$

Wir konnten 2 Spalten mit lauter Nullen und genau einer Eins (pink) generieren. Wir stellen die zugehörigen Gleichungungen nach den pinken Variablen um:$$\pink{x_1}=-x_2\quad;\quad \pink{x_3}=-x_2$$und können damit alle Lösungen der obigen Gleichungen angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\x_2\\\pink{x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\-x_2\end{pmatrix}=x_2\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

Die Punkte aus dem Kern der Abbildung liegen also alle auf einer Geraden durch den Urpsrung mit dem Richtungsvektor \((-1;1;-1)^T\). Der Kern der Abbildung ist also 1-dimensional.

zu b) Wenn der Kern einer Abbildungsmatrix \(A\) nur den Nullvektor enthält, ist die Abbildung injektiv. Das heißt, jeder Vektor aus der Zielmenge der Abbildung wird höchstens 1-mal getroffen.

Das kannst du dir wie folgt überlegen. Angenommen, es gibt zwei Vektoren \(\vec x\) und \(\vec y\), die denselben Zielvektor treffen, dann muss ja gelten:$$A\cdot\vec x=A\cdot\vec y\implies A\cdot\vec x-A\cdot\vec y=\vec 0=A\cdot(\vec x-\vec y)=\vec 0$$Da der Kern der Abbildungsmatrix \(A\) aber nur den Nullvektor enthält, ist der Nullvektor der einzige Vektor, der auf den Nullvektor abgebildet wrid, also muss \((\vec x-\vec y)=\vec 0\) gelten, woraus dann \(\vec x=\vec y\) folgt. Es gibt also keine zwei verschiedenen Argumente mit demselben Ergebnis.

Wenn die Abbildungsmatrix \(A\) nicht nur injektiv, sondern auch quadratisch ist \((n\times n)\), wird jeder der n-dimensionalen Eingangsvektoren auf einen anderen n-dimensioaneln Zielvektor abgebildet. Die Abbildung ist daher auch surjekiv (d.h. jedes Element der Zielmenge wird mindestens 1-mal getroffen).

Zusammengefasst heißt das, eine quadartische Abbildungs-Matrix, deren Kern nur den Nullvektor enthält, ist bijektiv. Das heißt, jedes Element der Zielmenge wird genau 1-mal getroffen. Die Gleichung \(A\cdot \vec x=\vec b\) hat dann genau eine eindeutige Lösung.