beschränkte und lokal beschränkte Familien

Question

Hallo zusammen

Ich versuche gerade ein paar Aussagen zur Beschränktheit und lokalen Beschränktheit von Familien zu beweisen und stehe etwas an.

Die Definitionen sind wie folgt:

Def. beschränkte Familie: Eine Familie F von holomorphen Funktionen in einem Bereich D heisst beschränkt, in einer Teilmenge A von D, wenn e eine reelle Zahl M>0 gibt, so dass für alle f in F gilt: |f|_A ≤ M.

Def. lokal beschränkte Familie: Eine Familie F heisst lokal beschränkt in D, wenn jeder Punkt z ∈D eine Umgebung U ⊂D besitzt, so dass F in U beschränkt ist.

Was ich versuche nachzuprüfen:

1. Eine Familie ist lokal beschränkt ⇔ die Familie auf jedem Kompaktum in D beschränkt ist.

2. Eine Familie welche holomorph auf  einer Kreisscheibe Br(c), r>0 ist, ist genau dann lokal beschränkt in B, wenn sie in jeder Kreisscheibe Bρ (c), ρ <r beschränkt ist.

3. lokal beschränkte Familien sind nicht lokal beschränkt. Das versuche ich an der Familie mit f_n = n z^n nachzuprüfen.

Leider stehe ich überall an, da ich noch keine Erfahrung habe wie man mit solchen Familien und ihrer Beschränktheit umgehen kann.

Ich wäre sehr dankbar um Eure Hilfe, wie man diese Punkte beweisen kann.

Liebe Grüsse

mathstudent1234

Comments

Aufgabe 3 sieht falsch abgetippt aus^^

Answer 1

1 Hin-Richtung): Sei \((\mathscr{F}_i)_{i\in\mathcal{I}}:\mathcal{D}\to \mathbb{C}\) lokal beschränkt und \(K\subseteq\mathcal{D}\) kompakt. Dann gibt es zu jedem Punkt \(x\in K\) eine Umgebung \(U_x\ni x\), sodass \((\mathscr{F}_i)_{i\in\mathcal{I}}\) auf \(U_x\) beschränkt ist, sagen wir \(|(\mathscr{F}_i)_{i\in\mathcal{I}}|\leq c_x\). Da \(K\) kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung \(U_{x_1},\ldots,U_{x_n}\) von \(K\), auf dieser gilt \(|(\mathscr{F}_i)_{i\in\mathcal{I}}|\leq \max\{c_{x_1},\ldots,c_{x_n}\}\).

1 Rück-Richtung): Gelte die rechte Aussage und sei \(x\in \mathcal{D}\) ein beliebiger Punkt. Dann gibt es eine Umgebung \(U_x\ni x\), sodass der Abschluss \(\overline{U_x}\) von \(U_x\) noch im Inneren von \(\mathcal{D}\) liegt (im Prinzip ein klein genügnder Epsilon-ball). Dann ist \(\overline{U_x}\) kompakt in \(\mathcal{D}\) und damit \((\mathscr{F}_i)_{i\in\mathcal{I}}\) beschränkt auf \(\overline{U_x}\) und damit auch auf \(U_x\).

2) Schaffst du diese Aufgabe mittels der 1)? Tipp: Jedes Kompaktum \(K\subseteq B_\rho(c)\) ist in einem \(B_r(c)\) mit \(r<\rho\) enthalten.

3) Die Aufgabe ist glaube ich etwas falsch gestellt, so macht sie auf jeden Fall nicht viel Sinn :)

Comments

Uch, bei m 3. sollte es sein:

Eine lokal beschränkte Familie ist nicht beschränkt. Das habe ich versucht an der Familie bestehend aus den Funktionen f_n: \E →\C, f_n(z)= n zⁿ nachzuprüfen. Also zu zeigen, die Familie ist lokal beschränkt jedoch nicht beschränkt. Jedoch scheitere ich bei beidem...

Zur 1.: Dein Beweis kann ich nachvollziehen, vielen Dank für die Hilfe!

Zur 2.: Für die Richtung ⇒ würde nach 1. gelten, dass die Familie in jedem Kompaktum in Br(c), r>0 beschränkt ist. Nach deinem Tipp würde dann gelten, dass die Familie in jedem Bρ(c), ρ<r beschränkt ist. (Ist das korrekt?)

Bei der Richtung ⇐ stehe ich an

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ich wäre dir sehr dankbar um eine Antwort.