Aufgabe:
Welche der folgenden Familien reeller Zahlen \( \left(a_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}} \) sind summierbar beziehungsweise uneigentlich summierbar? Führen Sie gegebenenfalls eine Fallunterscheidung bezüglich des Parameters \( \alpha \in \mathbb{R} \) durch.
a) \( a_{i}:=i^{-\alpha} \) für \( \alpha>0 \);
b) \( a_{i}:=(-1)^{i} i^{-\alpha} \) für \( \alpha>0 \);
c) \( a_{i}:=\alpha^{i} \) für \( \alpha \in \mathbb{R} \).
Problem/Ansatz:
Ich habe mir nun folgendes Überlegt:
a) \( a_{i}:=i^{-\alpha} \) für \( \alpha>0 \)
Diese Reihe \( \sum \limits_{i=1}^{\infty} i^{-\alpha} \) ist doch die Riemannsche Zeta-Funktion \( \zeta(\alpha) \)?, welche für \( \alpha>1 \) konvergiert und für \( \alpha \leq 1 \) divergiert.
b) \( a_{i}:=(-1)^{i} i^{-\alpha} \) für \( \alpha>0 \)
Diese Reihe ist eine alternierende Reihe, die sich aus der vorherigen Reihe ergibt, aber mit alternierenden Vorzeichen \( (-1)^{i} \). Für \( \alpha>0 \) konvergiert diese Reihe genau dann, wenn die Betragsreihe \( \sum \limits_{i=1}^{\infty} i^{-\alpha} \) konvergiert. Daher konvergiert sie für \( \alpha>1 \) und divergiert für \( \alpha \leq 1 \).
c) \( a_{i}:=\alpha^{i} \) für \( \alpha \in \mathbb{R} \)
Diese Reihe ist eine geometrische Reihe mit \( r=\alpha \). Die geometrische Reihe \( \sum \limits_{i=0}^{\infty} r^{i} \) konvergiert genau dann, wenn \( |r|<1 \). Also konvergiert \( \sum \limits_{i=0}^{\infty} \alpha^{i} \) genau dann, wenn \( |\alpha|<1 \).
Zusammenfassend:
a) Konvergiert für \( \alpha>1 \), divergiert für \( \alpha \leq 1 \).
b) Konvergiert für \( \alpha>1 \), divergiert für \( \alpha \leq 1 \).
c) Konvergiert für \( |\alpha|<1 \).
Zwecks der Summierbakeit erhalte ich:
a) Die Reihe \( \sum \limits_{i=1}^{\infty} i^{-\alpha} \) ist summierbar für \( \alpha>1 \).
b) Die Reihe \( \sum \limits_{i=1}^{\infty}(-1)^{i} i^{-\alpha} \) ist summierbar für \( \alpha>1 \).
c) Die Reihe \( \sum \limits_{i=0}^{\infty} \alpha^{i} \) ist summierbar für \( |\alpha|<1 \).
Stimmt das so?
LG Euler
