Wie beweise ich die Linksdistributivität bei Matrizen`?

Question

Hallo. Ich soll folgenden Satz beweisen. Hat jemand nen Tipp?

SATZ 2.10 (Linksdistributivität der Matrizenmultiplikation). Seien \( k, l, m \in \mathbb{N} \), und seien \( A \in \mathbb{R}^{k \times l}, B, C \in \mathbb{R}^{l \times m} \). Dann gilt
\( A \cdot(B+C)=(A \cdot B)+(A \cdot C) . \)

Answer 1

Du musst ja nur zeigen, dass für alle sinnvollen Indexpaare (i,j) bei

den Matrizen \( A \cdot(B+C) \)   und \((A \cdot B)+(A \cdot C) \) der gleiche Wert steht.

Bei \( A \cdot(B+C) \) steht an der Stelle i,j das Skalarprodukt

der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B+C, also

\(  \sum \limits_{u=1}^k a_{i,u} \cdot (b_{u,j}+c_{u,j}) \)

Bei \((A \cdot B)+(A \cdot C) \) steht an der Stelle i,j die Summe

der Skalarprodukte   i-te Zeile von A mit der j-ten Spalte von B

plus   i-te Zeile von A mit der j-ten Spalte von C, also

\(  \sum \limits_{u=1}^k a_{i,u} \cdot b_{u,j} + \sum \limits_{u=1}^k a_{i,u} \cdot c_{u,j} \)

= \(  \sum \limits_{u=1}^k (a_{i,u} \cdot b_{u,j} + a_{i,u} \cdot c_{u,j} )\)

= \(  \sum \limits_{u=1}^k (a_{i,u} \cdot (b_{u,j} +c_{u,j} ))\)   q.e.d.