Fehler bei Ansatz bei Partialbruchzerlegung (Integrale)

Question

Warum genau ist der hier beschriebene Ansatz unvollständig? Also was wäre die richtige/vollständige Variante gewesen?

Text erkannt:

Berechnen Sie \( \int \frac{7 x^{2}+6}{\left(x^{2}+2\right) \cdot\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x \). Hinweis: Partialbruchzerlegung Typische Fehler: Teilweise wurde partielle Integration statt Partialbruchzerlegung versucht. Meist wurde der unvollständige Ansatz \( \frac{7 x^{2}+6}{\left(x^{2}+2\right) \cdot\left(x^{2}+1\right)} \stackrel{!}{=} \) \( \frac{a}{x^{2}+2}+\frac{b}{x^{2}+1} \) verwendet, was zwar hier funktioniert (ich habe die Aufgabe absichtlich so gestellt!), aber natürlich nicht korrekt ist. Erstaunlich viele

Comments

vgl:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Hi,

bei nicht-reellen Nullstellen ist der Ansatz im Zähler zu erweitern. Im Zähler gilt in Deinem Bsp die Form ax+b (bzw. cx+d).

Wie angekündigt sind hier aber a und c jeweils 0.

Grüße

Answer 2

Warum genau ist der hier beschriebene Ansatz unvollständig?

Weil im Nenner keine Linearfaktoren stehen, sondern zumindest x^2. Damit lautet ein richtiger Ansatz

$$f(x) = \frac{7x^2+6}{(x^2+2)(x^2+1)} = \frac{ax+b}{x^2+2}+\frac{cx+d}{x^2+1}$$

Schau daher nochmals im Kapitel Partialbruchzerlegung eures Skriptes nach.

Benutze https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle.

Answer 3

Aloha :)

Die Partialbruch-Zerlegung kannst du hier sofort sehen:$$\frac{7x^2+6}{(x^2+2)(x^2+1)}=\frac{(8x^2+8)-(x^2+2)}{(x^2+2)(x^2+1)}=\frac{8(x^2+1)}{(x^2+2)(x^2+1)}-\frac{x^2+2}{(x^2+2)(x^2+1)}$$$$\phantom{\frac{7x^2+6}{(x^2+2)(x^2+1)}}=\frac{8}{x^2+2}-\frac{1}{x^2+1}=4\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{(\sqrt2)^2+x^2}-\frac{1}{1+x^2}$$

Die Ableitung von \(\arctan(x)\) ist \(\frac{1}{1+x^2}\), sodass gilt:$$\arctan'\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac1a=\frac{1}{a+\frac{x^2}{a}}=\frac{a}{a^2+x^2}$$

Damit ist das Integral klar:$$\int\frac{7x^2+6}{(x^2+2)(x^2+1)}dx=4\sqrt2\cdot\arctan\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)-\arctan(x)+C$$