Ich schreibe momentan eine Facharbeit in Mathematik bzgl. der Analogie zwischen der Fourier Analysis und der linearen Algebra. Dabei habe ich mich bei der Herleitung der Fourierreihe auf die Exponentialfunktion \( \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}kt/T} \) als Orthonormalbasis im \(L^2([-T/2;T/2])\) gestützt. Hinsichtlich der Erweiterung der Fourierreihe auf nicht periodische Funktion mittels der kontinuierlichen Fourier Transformation ergibt sich für die Fourier Transformierte einer Funktion \( f(t)\in L^2(\mathbb{R}) \) schließlich
\(\displaystyle \hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-2\pi \mathrm{i}\omega t}\mathrm{d}t\)
Jedoch bildet \( \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\omega t} \) keine Orthonromalbasis für \(\omega\in \mathbb{R}\), da \( \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\omega t} \notin L^2(\mathbb{R})\).
Frage: Wenn \( \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}\omega t} \) keine Orthonormalbasis im \( L^2(\mathbb{R}) \) bildet, wieso funktioniert die Fourier Transformation trotzdem? Normalerweise habe ich mir die Fourier Transformation als einen Basiswechsel einer Funktion \( f\) vorgestellt. Macht diese Interpretation für die Fourier Transformation weiterhin Sinn?
Vielen Dank im Voraus!
