Um hier etwas ins Detail zu gehen, gestern hatte ich nicht viel Zeit dafür:
Du weißt hoffentlich, dass \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}_n)^\ast\) auf natürliche Weise: Der Isomorphismus schickt einen \(\mathbb{Q}\)-fixierenden Automorphismus \(\alpha\) von \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\) auf die Zahl \(a\mathrel{\text{mod}} n\), sodass \(\alpha(\zeta_n)=\zeta_n^a\).
Da \(|(\mathbb{Z}_n)^\ast| = \varphi(n)\), wäre unser erster Ansatz ein \(n\in\mathbb{N}\) zu finden mit \(\varphi(n)=5\). Gibts nicht, doof (\(\varphi(n)\) ist \(1\) oder gerade). Aber \(\varphi(11)=10\), das ist so gut wie es geht.
Jetzt wissen wir also schonmal, dass \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11})/\mathbb{Q})=(\mathbb{Z}_{11})^\ast\cong C_{10}\) (multiplikative Gruppen endlicher Körper sind zyklisch).
Um von \(C_{10}\) nach \(C_5\) zu kommen, müssen wir einen Normalteiler \(C_2\vartriangleleft C_{10}\) finden, und wissen durch den Fundamentalsatz der Galoistheorie, dass wir auch eine Zwischenerweiterung bekommen, die genau den Quotienten als Galoisgruppe hat. Die Untergruppe \(G\) generiert durch den Automorphismus \(\alpha:\zeta_{11}\mapsto\zeta_{11}^{10}\) von Ordnung \(2\) tut den Job, dessen Fixkörper ist \(\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{10})\), aber den müsstest du ja nichtmal angeben.
Der Fundamentalsatz der Galoistheorie sagt uns jetzt, dass \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{10})/\mathbb{Q})\cong \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{11})/\mathbb{Q})/G=C_5\) gelten muss. Bleibt nurnoch in einem Satz zu erwähnen, wieso \(\mathbb{Q}(\zeta_{11}+\zeta_{11}^{10})/\mathbb{Q}\) eine Galoiserweiterung ist.
