Zeigen Sie, dass wenn |G| = p , p € P , dann ist G ≅ Z/pZ

Question

Hallo,

Das ist keine Übungsaufgabe für die Universität, ich habe Semesterferien. Ich wollte aus Langeweile folgende Behauptung beweisen :

Es sei G eine endliche Gruppe. Zeigen Sie, ist die Ordnung von G eine Primzahl, so ist

G ≅ Z/pZ

Mein Beweis :

Das f : G —> Z/pZ surjektiv ist, folgt aus der Konstruktion der Faktorgruppe. Es gibt hier immer einen surjektiven Gruppenhomomorhismus.

Annahme : f nicht Injektiv, dann gäbe es noch ein a ∈ G ≠ 0_G mit a ∈ Kern(f). Wissen, dass Kern(f) ≤ G(Untergruppe) , da aber |G| Primzahl gibt es nur zwei Untergruppen nämlich G und {0_G} also f injektiv.

Passt der Beweis so?

Answer 1

Das f : G —> Z/pZ surjektiv ist, folgt aus der Konstruktion der Faktorgruppe.

Das tut es nicht, zum Beispiel f(g) = 0 für alle g ∈ G.

Es gibt hier immer einen surjektiven Gruppenhomomorhismus.

Für endliche Mengen M, N mit |M|=|N| ist f: M→N genau dann injektiv, wenn f surjektiv. Wegen |G| = |ℤ/pℤ| folgt die Injektivität von f also direkt aus der Surjektivität.

Passt der Beweis so?

Nein, nicht bevor du mir sagst, wie dein f definiert ist oder zumindest begründest, warum es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von G nach ℤ/pℤ gibt .

Comments

Ist denn pZ kein Normalteiler ? Weil ich habe immer einen surjektiven Gruppenhomomorhismus von G —> G/H wobei H ein Normalteiler ist und der Kern ist auch ein Normalteiler.

Edit : Unsinn, das kann nicht der Kern sein, weil ja nur 0_G drin liegt.